ФЭНДОМ


Парадокс Белла — один из известных релятивистских парадоксов специальной теории относительности, связанный с невозможностью определения понятия «абсолютно твёрдого тела» в пространстве-времени теории относительности. В наиболее известном варианте самого Белла[1] парадокс возникает при рассмотрении мысленного эксперимента, включающего в себя два ускоряющихся в одном и том же направлении космических корабля и соединяющую их натянутую до предела струну. Если корабли начнут синхронно ускоряться, то в сопутствующей кораблям системе отсчёта расстояние между ними начнёт увеличиваться и струна разорвётся. С другой стороны, в системе отсчёта, в которой корабли сначала покоились, расстояние между ними не увеличивается, и поэтому струна разорваться не должна. Какая точка зрения правильная? Согласно теории относительности, первая — разрыв струны.

Хронологически первое упоминание парадокса содержится в работе Э. Девана и М. Берана 1959 года [2], которые рассматривали результат подобного мысленного эксперимента как подтверждение реальности релятивистского сокращения тел.

Мысленный эксперимент Белла Править

В версии Белла два космических корабля, вначале покоящиеся относительно некоторой инерциальной системы отсчёта (ИСО), соединяются натянутой до предела струной. В нулевой момент времени по часам соответствующей ИСО оба корабля начинают ускоряться с постоянным собственным ускорением g, измеряемым размещёнными на борту каждого корабля акселерометрами. Вопрос состоит в том, разорвётся ли струна, то есть увеличится ли расстояние между кораблями?


В соответствии с мнением Девана и Берана, а также Белла, в системе отсчёта, в которой изначально корабли покоились, расстояние между ними будет оставаться неизменным, но длина струны будет испытывать релятивистское сокращение, так что в некоторый момент времени струна разорвётся.

Против такого решения проблемы были выдвинуты возражения, которые затем, в свою очередь, были подвергнуты критике. Например, Пол Нороки (англ. Paul Nawrocki) предполагал, что струна не должна разорваться[3], в то время как Эдмонд Деван (англ. Edmond Dewan) защищал свою исходную точку зрения в ответной работе[4] Белл писал, что он встретил сдержанный скептицизм «одного известного экспериментатора» в ответ на своё изложение парадокса. Для того, чтобы разрешить спор, было проведено неформальное совещание теоретического отдела ЦЕРНа. Белл утвержает, что «ясным общим мнением» отдела стало признание того, что струна не должна разорваться. Далее Белл добавляет: «Конечно, многие люди, получившие сначала неправильный ответ, дошли до верного путём дальнейших рассуждений»[1]. Позже, в 2004 году, Мацуда и Киносита[5] писали, что опубликованная ими в японском журнале работа, содержащая независимо переоткрытый вариант парадокса, была сильно раскритикована. Авторы, однако, не дают ссылок на критические работы, утверждая только, что они были написаны на японском языке.

Анализ Править

В дальнейшем анализе будем рассматривать космические корабли как точечные тела и рассматривать только длину струны. Анализ относится к случаю, когда корабли заглушают двигатели после некоторого промежутка времени T. Будут использоваться галилеевы координаты во всех инерциальных системах отсчёта.

Файл:Bell's spaceship paradox - spaceships.png

В соответствии с изложением Девана и Берана, а также Белла, в системе отсчёта «стартовых площадок» (относительно которой корабли покоились до начала работы двигателей и которую мы будем называть СО S) расстояние между кораблями A и B — L, должно оставаться постоянным «по определению».

Это можно проиллюстрировать следующим образом. Смещение кораблей относительно своих исходных позиций — вдоль оси X СО S — как функция времени может быть записана в виде f(t). Эта функция, вообще говоря, зависит от функции тяги двигателей, но важно, что она одинакова для обоих космических кораблей. Поэтому положение каждого корабля как функция времени будет:

x_A = a_0 + f(t), \quad x_B = b_0 + f(t),

где

f(t) при t<0 равна 0 и непрерывна при всех значениях t;
x_A — положение (x-координата) корабля A;
x_B — положение (x-координата) корабля B;
a_0 — положение корабля A при t=0;
b_0 — положение корабля B при t=0.

Из этого x_A - x_B = a_0 - b_0\, что является постоянной величиной, не зависящей от времени. Такой аргумент справедлив для всех типов синхронного движения.

Таким образом, знание детального вида f(t) не является необходимым для дальнейшего анализа. Отметим, однако, что форма f(t) для постоянного собственного ускорения хорошо известна (см. гиперболическое движение).

Рассматривая пространственно-временную диаграмму (сверху справа), можно заметить, что космические корабли прекратят ускоряться в событиях A' и B', которые одновременны в СО S. Очевидно также, что эти события не одновременны в СО, сопутствующей кораблям. Это является примером относительности одновременности.

Из предыдущего ясно, что длина линии A'B' равна длине AB, которая, в свою очередь, совпадает с начальным расстоянием L между кораблями. Также очевидно, что скорости кораблей A и B в СО S после окончания фазы укореннного движения равны v. Наконец, собственное расстояние между космическими кораблями A и B после окончания фазы укореннного движения будет равно расстоянию в сопутствующей ИСО и равно длине линии A'B''. Эта линия является линией постоянного t' — временной координаты сопутствующей системы отсчёта, которая связана с координатами в СО S преобразованиями Лоренца:

 t' = \frac{\left( t - v x / c^2 \right)} {\sqrt{1-v^2/c^2}}.

A'B'' представляет собой линию, взятую одновременно относительно СО космических кораблей, то есть — для них — чисто пространственную. Так как интервал является инвариантом относительно преобразований СО, можно вычислить его в любой удобной системе отсчёта, в даном случае в S.

Математически через координаты в СО S вышеизложенные соображения записываются так:

t_{B'} = t_{A'}\, ,
x_B - x_A = x_{B'}-x_{A'} = L\, ,
 x_{B''} - x_{B'} = v \left( t_{B''} - t_{B'} \right) ,
 t_{B''} - \frac{v}{c^2} x_{B''} = t_{A'} - \frac{v}{c^2} x_{A'}\, ,
 \overline{A'B''} = \sqrt{ \left( x_{B''}-x_{A'} \right)^2 - c^2 \left( t_{B''} - t_{A'} \right)^2 }\, .

Введя вспомогательные переменные

 H = t_{B''} - t_{B'} = t_{B''} - t_{A'}\, ,
 W = x_{B''} - x_{B'}\, ,

и замечая, что

W+L = x_{B''} - x_{B'} + x_{B'} - x_{A'} = x_{B''} - x_{A'}\, ,

можно переписать уравнение как

 W = v H \qquad H = \frac{v}{c^2} \left(W + L \right) \qquad \overline{A'B''} = \sqrt{\left(W+L\right)^2 - c^2 H^2}

и решить его:

 \overline{A'B''} = \frac{L}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}.

Следовательно, при описании в сопутствующей системе отсчета расстояние между кораблями увеличивается в \gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2} раз. Следовательно струна растягивается.

Белл отметил, что релятивистское сокращение тел, так же как и отсутствие сокращения расстояний между космическими кораблями в рассмативаемом мысленном эксперименте, можно объяснить динамически, используя уравнения Максвелла. Искажение межмолекулярных электромагннитных полей вызывает сокращение движущихся тел — или напряжения в них, если предотвращать их сокращение. Но между кораблями эти силы не действуют.

Контекст и родственные проблемы Править

Парадокс Белла очень редко упоминается в печатных учебниках по теории относительности, но иногда описывается в интернет-курсах.

Более часто в учебниках и монографиях упоминается эквивалентная задача М. Борна о жёстком движении. Вместо вопроса о расстоянии между кораблями с одинаковым ускорением, данная проблема касается вопроса о необходимом для второго корабля ускорении для сохранения постоянного расстояния между кораблями в их сопутствующей системе отсчёта. Ускорения должны быть, вообще говоря, различными[6][7]. Чтобы два космических корабля, вначале покоившихся в некоторой ИСО, сохраняли постоянным собственное растояние друг от друга, передний корабль должен иметь более низкое собственное ускорение[7] (см. также координаты Риндлера).

Близкородственной задачей является также проблема синхронизации часов на одинаково ускоренных кораблях, разобранная в 1907 году Эйнштейном[8]. Она привела его к мысли о гравитационном красном смещении и гравитационном замедлении времени.

См. также Править

Примечания Править

  1. 1,0 1,1 Speakable and unspeakable in quantum mechanics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1987. — ISBN ISBN 0-521-52338-9 Известная книга, содержащая перепечатку исходной статьи Белла 1976 года.
  2. Dewan, E.; Beran, M. (March 20 1959). "Note on stress effects due to relativistic contraction". American Journal of Physics 27 (7): 517-518. DOI:10.1119/1.1996214. Проверено 2006-10-06.
  3. Nawrocki, Paul J. (October 1962). "Stress Effects due to Relativistic Contraction". American Journal of Physics 30 (10): 771-772. DOI:10.1119/1.1941785. Проверено 2006-10-06.
  4. Dewan, Edmond M. (May 1963). "Stress Effects due to Lorentz Contraction". American Journal of Physics 31 (5): 383-386. DOI:10.1119/1.1969514. Проверено 2006-10-06. . (Отметим также, что эта статья содержит первое упоминание о парадоксе лестницы.)
  5. Matsuda, Takuya; & Kinoshita, Atsuya (2004). "A Paradox of Two Space Ships in Special Relativity". AAPPS Bulletin February: ?. eprint version
  6. Gravitation. — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — С. 165. — ISBN ISBN 0-7167-0344-0
  7. 7,0 7,1 Nikolić, Hrvoje (6 April 1999). "Relativistic contraction of an accelerated rod". American Journal of Physics 67 (11): 1007-1012. DOI:10.1119/1.19161. Проверено 2006-10-07. eprint version
  8. Эйнштейн, А. О принципе относительности и его следствиях.
    Русский перевод см. в
    А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. 1. — М., изд-во «Наука», 1965.


Ссылки Править

  • Hsu, Jong-Ping; & Suzuki (2005). "Extended Lorentz Transformations for Accelerated Frames and the Solution of the "Two-Spaceship Paradox"". AAPPS Bulletin October: ?.
eprint версия.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Парадокс Белла. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики