ФЭНДОМ


Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равнятся нулю на ненулевых элементах пространства.

ОпределениеПравить

Полунормой называется функция p\colon L \to\R, в линейном пространстве L над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. Абсолютная однородность: p(\alpha x)=|\alpha|p(x) для любого скаляра \alpha
  2. Неравенство треугольника: p(x+y) \leqslant p(x)+p(y) для всех x, y \in L

Свойства Править

  • p(0)=0
Это свойство следует из первого условия определения и равенства 0 \cdot 0 = 0, здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству L:
p(0)=p(0 \cdot 0) = |0| \cdot p(0) = 0
  • p(x)=p(-x)
Это свойство также получается из первого условия при \alpha = -1.
  • p(x) \geqslant 0
Если предположить существование такого x^*, что p(x^*) < 0, то из первого условия определения следует, что и p(-x^*) < 0. Воспользовавшись вторым условием, p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0 получаем противоречие с первым свойством.

Литература Править

  • Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975.




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Полунорма. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики