ФЭНДОМ


Предги́льбертово простра́нство в линейной алгебре, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства.

Определение Править

Пара \left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\right) называется предгильбертовым пространством, если Xлинейное пространство, а \langle\cdot , \cdot\rangle — определённое на X скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, т.е. положительно определенное).

Замечание Править

Предгильбертово простанство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определенным, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых x (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение дает не норму, а только полунорму.

Пример Править

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство действительных функций интегрируемых с квадратом

L^2([a,b]) = \left\{f\colon[a,b] \to \R\,\left|\,\int\limits_a^b\!f^2(x)\,dx < \infty\right.\right\},

если скалярное произведение определить как

\langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b}\!f(x) g(x)\,dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b]\big).

Введенное таким образом скалярное произведение дает не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L2).

См. также Править

en:Inner product space es:Espacio prehilbertiano fr:Espace préhilbertien


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Предгильбертово пространство. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики