Преобразование Радона

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года.

Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Двумерное преобразование Радона

Двумерное преобразование Радона.
В данном случае R(s,α) есть интеграл от f(x,y) вдоль прямой AA^'

Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.

Пусть $f(x, y)$ функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции $f(x, y)$ называется функция

$R(s,\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s\cos\alpha-z\sin\alpha,s\sin\alpha+z\cos\alpha)dz$ (1)

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору $\vec{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ и проходящей на расстоянии s (измеренного вдоль вектора $\vec{n}$, с соответствующим знаком) от начала координат.

Связь преобразования Радона и преобразования Фурье. Формула обращения

Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции $f(x, y)$

$F(k_x,k_y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\int\limits_{-\infty}^{\infty}dye^{-i (k_x x + k_y y)}f(x,y)$. (*)

Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой перпендикулярной вектору $\vec{k}=(k_x,k_y)$, и изменяется наиболее быстро если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим $\vec{k}=(k_x,k_y)=\omega(\cos\alpha,\sin\alpha)$, мы выберем новые переменные $s=x\cos\alpha+y\sin\alpha,$ $z=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$. Сделав замену переменных в интеграле, получаем

$F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} ds e^{-i\omega s} \int\limits_{-\infty}^{\infty} dz f(s\cos\alpha-z\sin\alpha, s\sin\alpha+z\cos\alpha)$

т.е.

$F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} ds e^{-i\omega s} R(s,\alpha)$

Таким образом, одномерное преобразование Фурье по переменной s от преобразования Радона функции f даёт нам двумерное преобразование Фурье от функции f. Поскольку двумерное преобразование Фурье достаточно хорошей функции обратимо, то обратимо и преобразование Радона.

Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом

$f(x,y)=\int \frac{dk_x dk_y}{(2\pi)^2}e^{i \vec{k}\vec{x}} F(k_x,k_y).$

Для наших целей удобно переписать эту формулу в полярных координатах

$f(x,y)=\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\omega d\omega}{(2\pi)^2}\int\limits_0^{2\pi}d\alpha e^{i \omega(x\cos\alpha+y\sin\alpha)}F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha)$,

что немедленно даёт формулу обращения преобразования Радона

$f(x,y)=\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\omega d\omega}{(2\pi)^2} e^{i \omega(x\cos\alpha+y\sin\alpha)}\tilde{R}(\omega,\alpha)$,

где $\tilde{R}(\omega,\alpha)=\int ds e^{-i\omega s}R(s,\alpha)$.

Применение преобразования Радона

Схема получения рентгеновской томограммы

В компьютерной томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна $\exp\left\{-\int\limits_{AA'}dz\rho(x,y) \right\}$, где $\rho(x,y)$ оптическая плотность объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой $AA'$ проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от оптической плотности. Вращая всю систему из источника излучения и детекторов вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показаной на рисунке, получают достаточно полную информацию о преобразовании Радона оптической плотности в данном срезе объекта. Используя обратное преобразование Радона можно восстановить поглощение излучения в любой точке данной плоскости объекта.

Преобразование Радона для функции произвольного числа переменных

Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:

$R(s,\vec{n})=\int \delta(\vec{n} \vec{r}-s)f(\vec{r})d\vec{r}$ (2)

Здесь мы обозначили $\vec{r}=(x,y)$ — радиус-вектор из начала координат,$d\vec{r}=dx dy$ — двумерный элемент объёма, $\vec{n}$ — единичный вектор, который можно параметризовать как $\vec{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$. С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.

Формула (2) тривиально обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под $\vec{r}$, $dV$ и $\vec{n}$ понимать соответственно N-мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в N-мерном пространстве и N-мерный единичный вектор. В принципе, вектор $\vec{n}$ можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация $\vec{n}=(\sin\theta\cos\alpha,\sin\theta\sin\alpha,\cos\theta)$.

Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости перпендикулярной вектору $\vec{n}$ и проходящей на расстоянии s от начала координат (взятом со знаком минус если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором $\vec{n}$).

Обращение многомерного преобразования Радона

В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Покажем это.

Рассмотрим преобразование Фурье от $R(s,\vec{n})$ по переменной s, то есть

$\int R(s,\vec{n})e^{-is\omega}ds$.

Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим

$\int R(s,\vec{n})e^{-is\omega}ds=\int f(\vec{r})e^{-i\vec{r}\vec{n}\omega}d\vec{r}$.

Заметим теперь, что $\int\limits_{0}^{\infty}\omega^{N-1} d\omega\int d\vec{n}$ есть интеграл по всему N-мерному пространству (здесь под интегралом $\int d\vec{n}$ подразумевается интеграл по N-1 мерной сфере, в частности, для N=2 $\int d\vec{n}=\int\limits d\alpha$, для N=3 $\int d\vec{n}=\int\limits d\phi\cos\theta d\theta$). Из этого следует, что

$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\omega^{N-1}d\omega}{(2\pi)^N}\int d\vec{n} e^{i(\vec{r}'-\vec{r})\omega\vec{n}}=\delta(\vec{r}-\vec{r}')$.

Используя это представление векторной дельта-функции получаем формулу обращения

$f(\vec{r}')=\int d\vec{n}\int\limits_0^{\infty}\frac{\omega^{N-1}d\omega}{(2\pi)^N}e^{i\vec{r}'\vec{n}\omega}\int ds e^{-is \omega}R(s,\vec{n})$.

Ссылки

• И.С.Грузман Математические задачи компьютерной томографии. Соросовский образовательный журнал No. 5, 2001 ^{pdf txt}
• Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications. New York: John Wiley & Sons, 1983.
• Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001 ISBN 0-89871-493-1
• Natterer, Frank and Frank Wubbeling, Mathematical Methods in Image Reconstruction. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001 ISBN 0-89871-472-9

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Преобразование Радона. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---