ФЭНДОМ


Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию по базисным функциям, в качестве которых выступают синусоидальные (или мнимые экспоненты) функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид (мнимых экспонент) различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.

В математике под преобразованиями Фурье принято также понимать любые преобразования представления бесконечномерного вектора при смене одного ортогонального базиса на другой. Например, разложение функции возможно не только по синусоидальному базису, но и по любому полному базису ортогональных нормируемых функций. Все основные формулы при этом полностью аналогичны формулам для синусоидального базиса. Важно, что полный ортогональный базис нередко бывает сравнительно нетрудно построить, причем еще и специально подходящий для конкретной задачи. Для этого достаточно взять все собственные функции линейного оператора весьма широкого класса (для синусов и косинусов таким оператором является оператор дифференцирования второго порядка), для одномерного случая — см. Задача Штурма — Лиувилля.

Применения преобразования Фурье Править

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

  • Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

Разновидности преобразования Фурье Править

Многомерное преобразование Фурье Править

Как непрерывное, так и дискретное преобразование Фурье, описываемые для функций одного скалярного аргумента ниже, имеют и многомерную форму, то есть форму для функций нескольких (конечного числа) аргументов или для функций векторного аргумента.

Наиболее простым и прямым аналогом описываемых ниже одномерных преобразований явлется разложение по плоским волнам:

F(\vec k) = N_1 \int\!f(\vec x) e^{-i(\vec k;\vec x)}\,d^n x

Здесь n — размерность пространства аргумента, F — фурье-образ функции f, N_1 — постоянный нормирующий множитель, \vec xn-мерный векторный аргумент функции f, \vec kn-мерный волновой вектор, аргумент функции F, d^nx — обозначение элемента n-мерного объема области интегрирования, в простейшем случае равное dx_1dx_2dx_3\dots

Обратное преобразование при этом выглядит так:

f(\vec x) = N_2 \int\!F(\vec k) e^{i(\vec k;\vec x)}\,d^nk

Область интегрирования в обоих интегралах n-мерная, в простейшем случае совпадает со всем пространством. Постоянные множители N_1 и N_2 подбирают обычно так, чтобы N_2 было равно единице или чтобы N_1=N_2 (ортонормированный базис).

На случай комплекснозначных и векторнозначных функций обобщение достаточно просто: каждая компонента векторнозначной функции преобразуется отдельно, так же можно поступить при желании и с действительной и мнимой частью комплекснозначной функции.

Многомерное преобразование Фурье может быть и дискретным, которое проще всего получается для f на конечной области в форме параллелепипеда, согласованного с осями координат. Для областей другой формы многомерное дискретное преобразование Фурье возможно при выборе несинусоидальных базисных функций.

Непрерывное преобразование Фурье Править


Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию f(t) как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами \omega и комплексными амплитудами F(\omega)=\mathcal{F}(f)(t). Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

F_1(\nu) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(\tau) e^{ -2\pi i\nu\tau}\,d\tau,
F_2(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(\tau) e^{-i\omega\tau}\,d\tau=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),
F_3(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(\tau) e^{-i\omega\tau}\,d\tau=F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),

где \omega=2\pi\nu.

В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).

См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

Ряды Фурье Править

Основная статья: Ряд Фурье


Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области f(x) (с периодом 2\pi), и представляют эти функции как ряды синусоид:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx},

где F_n — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],

где a_n и b_n — (действительные) амплитуды ряда Фурье.

Дискретное преобразование Фурье Править

Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции x_k, которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет x_k как сумму синусоид:

x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{2\pi ijk/n} \quad \quad k = 0,\;\dots,\;n-1,

где f_j — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует O(n^2) операций, этот расчет может быть сделан за O(n\ln n) операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.

Оконное преобразование Фурье Править


F(t,\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty\limits\!f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,

где F(t,\;\omega) даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала f(t) в окрестности времени t.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию W, эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

Другие варианты Править

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором x_k определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.

Интерпретация в терминах времени и частоты Править

В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где \omegaугловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (\omega), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Таблица важных преобразований Фурье Править

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье F(\omega) и G(\omega) обозначают фурье компоненты функций f(t) и g(t), соответственно. f и g должны быть интегрируемыми функциями или обобщенными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как \sqrt{2\pi}, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).


  Функция Образ Примечания
1 a f(t) + b g(t)\, a F(\omega) + b G(\omega)\, Линейность
2 f(t - a)\, e^{- i\omega a} F(\omega)\, Запаздывание
3 e^{ iat} f(t)\, F(\omega - a)\, Частотный сдвиг
4 f(a t)\, |a|^{-1} F \left( \frac{\omega}{a} \right)\, Если a\, большое, то f(a t)\, сосредоточена около 0 и |a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\, становится плоским
5 \frac{d^n f(t)}{dt^n}\,  (i\omega)^n  F(\omega)\, Свойство преобразования Фурье от n-й производной
6 t^n f(t)\, i^n \frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\, Это обращение правила 5
7 (f * g)(t)\, \sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)\, Запись f * g\, означает свёртку f\, и g\,. Это правило — теорема о свёртке
8 f(t) g(t)\, (F * G)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, Это обращение 7
9 \delta(t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, \delta(t)\, означает дельта-функцию Дирака
10 1\, \sqrt{2\pi}\delta(\omega)\, Обращение 9.
11 t^n\, i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, Здесь, n\,натуральное число, \delta^n(\omega)\,n-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12 e^{i a t}\, \sqrt{2 \pi} \delta(\omega - a)\, Следствие 3 и 10
13 \cos (a t)\, \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{2}\, Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера \cos(a t) = \frac{1}{2} \left( e^{i a t} + e^{-i a t}\right)\,
14 \sin( at)\, \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{2i}\, Также из 1 и 12
15 \exp(-a t^2)\, \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\, Показывает, что функция Гаусса \exp(-t^2/2)\, совпадает со своим изображением
16 W \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{sinc}(W t)\, \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 W}\right)\, Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и sinc функция её временной эквивалент
17 \frac{1}{t}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\, Здесь \sgn(\omega)\,sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10
18 \frac{1}{t^n}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\, Обобщение 17
19 \sgn(t)\, \sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\, Обращение 17
20 \sqrt{2\pi}\mathrm{H}(t)\, \frac{1}{i\omega} + \pi\delta(\omega)\, Здесь \mathrm{H}(t)\,функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

Литература Править

  • Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9


  • М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. — СПб: 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1


См. также Править

Ссылки Править




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Преобразование Фурье. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики