Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию по базисным функциям, в качестве которых выступают синусоидальные (или мнимые экспоненты) функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид (мнимых экспонент) различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.

В математике под преобразованиями Фурье принято также понимать любые преобразования представления бесконечномерного вектора при смене одного ортогонального базиса на другой. Например, разложение функции возможно не только по синусоидальному базису, но и по любому полному базису ортогональных нормируемых функций. Все основные формулы при этом полностью аналогичны формулам для синусоидального базиса. Важно, что полный ортогональный базис нередко бывает сравнительно нетрудно построить, причем еще и специально подходящий для конкретной задачи. Для этого достаточно взять все собственные функции линейного оператора весьма широкого класса (для синусов и косинусов таким оператором является оператор дифференцирования второго порядка), для одномерного случая — см. Задача Штурма — Лиувилля.

Применения преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).

• Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

• Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)

• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

• Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

Разновидности преобразования Фурье

Многомерное преобразование Фурье

Как непрерывное, так и дискретное преобразование Фурье, описываемые для функций одного скалярного аргумента ниже, имеют и многомерную форму, то есть форму для функций нескольких (конечного числа) аргументов или для функций векторного аргумента.

Наиболее простым и прямым аналогом описываемых ниже одномерных преобразований явлется разложение по плоским волнам:

$F(\vec k) = N_1 \int\!f(\vec x) e^{-i(\vec k;\vec x)}\,d^n x$

Здесь $n$ — размерность пространства аргумента, $F$ — фурье-образ функции $f$, $N_1$ — постоянный нормирующий множитель, $\vec{x}$ — $n$-мерный векторный аргумент функции $f$, $\vec{k}$ — $n$-мерный волновой вектор, аргумент функции $F$, $d^nx$ — обозначение элемента $n$-мерного объема области интегрирования, в простейшем случае равное $dx_1dx_2dx_3\dots$

Обратное преобразование при этом выглядит так:

$f(\vec x) = N_2 \int\!F(\vec k) e^{i(\vec k;\vec x)}\,d^nk$

Область интегрирования в обоих интегралах n-мерная, в простейшем случае совпадает со всем пространством. Постоянные множители $N_1$ и $N_2$ подбирают обычно так, чтобы $N_2$ было равно единице или чтобы $N_1=N_2$ (ортонормированный базис).

На случай комплекснозначных и векторнозначных функций обобщение достаточно просто: каждая компонента векторнозначной функции преобразуется отдельно, так же можно поступить при желании и с действительной и мнимой частью комплекснозначной функции.

Многомерное преобразование Фурье может быть и дискретным, которое проще всего получается для $f$ на конечной области в форме параллелепипеда, согласованного с осями координат. Для областей другой формы многомерное дискретное преобразование Фурье возможно при выборе несинусоидальных базисных функций.

Непрерывное преобразование Фурье

Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию $f(t)$ как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами $\omega$ и комплексными амплитудами $F(\omega)=\mathcal{F}(f)(t)$. Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

$F_1(\nu) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(\tau) e^{ -2\pi i\nu\tau}\,d\tau$,

$F_2(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(\tau) e^{-i\omega\tau}\,d\tau=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$,

$F_3(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(\tau) e^{-i\omega\tau}\,d\tau=F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$,

где $\omega = 2\pi \nu$.

В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).

См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области $f(x)$ (с периодом $2\pi$), и представляют эти функции как ряды синусоид:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}$,

где $F_n$ — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$,

где $a_n$ и $b_n$ — (действительные) амплитуды ряда Фурье.

Дискретное преобразование Фурье

Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции $x_k$, которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет $x_k$ как сумму синусоид:

$x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{2\pi ijk/n} \quad \quad k = 0,\;\dots,\;n-1$,

где $f_j$ — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует $O(n^2)$ операций, этот расчет может быть сделан за $O(n\ln n)$ операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.

Оконное преобразование Фурье

$F(t,\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty\limits\!f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,$

где $F(t,\;\omega)$ даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала $f(t)$ в окрестности времени $t$.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию $W$, эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором $x_k$ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где $\omega$ — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция $f$ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции $F$ представляет амплитуды соответствующих частот ($\omega$), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Таблица важных преобразований Фурье

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье $F(\omega)$ и $G(\omega)$ обозначают фурье компоненты функций $f(t)$ и $g(t)$, соответственно. $f$ и $g$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщенными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как $\sqrt{2\pi}$, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

	Функция	Образ	Примечания
1	$a f(t) + b g(t)\,$	$a F(\omega) + b G(\omega)\,$	Линейность
2	$f(t - a)\,$	$e^{- i\omega a} F(\omega)\,$	Запаздывание
3	$e^{ iat} f(t)\,$	$F(\omega - a)\,$	Частотный сдвиг
4	$f(a t)\,$	$|a|^{-1} F \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$	Если $a\,$ большое, то $f(a t)\,$ сосредоточена около 0 и $|a|^{-1} F \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$ становится плоским
5	$\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,$	$(i\omega)^n F(\omega)\,$	Свойство преобразования Фурье от $n$-й производной
6	$t^n f(t)\,$	$i^n \frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\,$	Это обращение правила 5
7	$(f * g)(t)\,$	$\sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)\,$	Запись $f * g\,$ означает свёртку $f\,$ и $g\,$. Это правило — теорема о свёртке
8	$f(t) g(t)\,$	$(F * G)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$	Это обращение 7
9	$\delta(t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$\delta(t)\,$ означает дельта-функцию Дирака
10	$1\,$	$\sqrt{2\pi}\delta(\omega)\,$	Обращение 9.
11	$t^n\,$	$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$	Здесь, $n\,$ — натуральное число, $\delta^n(\omega)\,$ — $n$-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12	$e^{i a t}\,$	$\sqrt{2 \pi} \delta(\omega - a)\,$	Следствие 3 и 10
13	$\cos (a t)\,$	$\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{2}\,$	Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера $\cos(a t) = \frac{1}{2} \left( e^{i a t} + e^{-i a t}\right)\,$
14	$\sin( at)\,$	$\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{2i}\,$	Также из 1 и 12
15	$\exp(-at^{2})\,$	$\frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,$	Показывает, что функция Гаусса $\exp(-t^2/2)\,$ совпадает со своим изображением
16	$W \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{sinc}(W t)\,$	$\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 W}\right)\,$	Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и sinc функция её временной эквивалент
17	$\frac{1}{t}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	Здесь $\operatorname {sgn}(\omega )\,$ — sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10
18	$\frac{1}{t^n}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	Обобщение 17
19	$\operatorname {sgn}(t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,$	Обращение 17
20	$\sqrt{2\pi}\mathrm{H}(t)\,$	$\frac{1}{i\omega} + \pi\delta(\omega)\,$	Здесь $\mathrm{H}(t)\,$ — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

Литература

• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9

• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. — СПб: 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1

См. также

• Численно-теоретические преобразования
• Преобразование Лапласа
• Ортогональные функции
• Вейвлет
• Чирплет

Ссылки

• Интегральные преобразования — EqWorld: Мир математических уравнений
• Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Преобразование Фурье. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---