ФЭНДОМ


Псевдообратные матрицы — обобощение обратных матриц в математике и, в частности, в линейной алгебре. Псевдообратная матрица к матрице A обозначается A^+. Наиболее известно псевдообращение Мура — Пенроуза, которое было независимо описано Э. Х. Муром* (Moore) и Роджером Пенроузом *. Концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 году представил Фредгольм. Термин «обобщенное обращение» иногда используется как синоним для псевдообращения. Псевдообращение можно понимать как наилучшую апроксимацию (по методу наименьших квадратов) решения соответствующей системы линейных уравнений (см. далее в применении). Псевдообращение определено для любых матриц над действительными и комплексными числами. Псевдообратная матрица может быть вычислена с помощью собственного представления матрицы.

Определение Править

A^+ называется псевдообратной матрицей для матрицы A, если она удовлетворяет следующим критериям:

  1. A A^+A = A;
  2. A^+A A^+ = A^+       (A^+ является слабым обращением в мультипликативной полугруппе);
  3. (AA^+)^* = AA^+       (это означает, что AA^+эрмитова матрица);
  4. (A^+A)^* = A^+A       (A^+A - тоже эрмитова матрица).

Здесь M^* - эрмитово сопряжённая матрица M. Для матриц над полем действительных чисел M^* = M^T.

Существует эквивалентный способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных:

A^+ = \lim_{\delta \to 0} (A^* A + \delta I)^{-1} A^*
          = \lim_{\delta \to 0} A^* (A A^* + \delta I)^{-1}

(смотрите регуляризация Тихонова). Этот предел существует, даже если (A A^*)^{-1} и (A^* A)^{-1} не определены.

Свойства Править

  • Псевдообращение обратимо, более того, эта операция обратна самой себе:
    (A^+)^+ = A .
  • Псевдообращение нулевой матрицы равно транспонированию.
  • Псевдообращение комутирует с транспонированием, сопряжением и эрмитовым сопряжением:
    (A^T)^+ = (A^+)^T,
    (\overline{A})^+ = \overline{A^+} ,
    (A^*)^+ = (A^+)^* .
  • Псевдообратное произведения матрицы A на скаляр \alpha равно соответствующему произведению матрицы A^+ на обратное число \alpha^{-1}:
    (\alpha A)^+ = \alpha^{-1} A^+ , для \alpha ≠ 0.
  • Если псевдообратная матрица для A^*A уже известна, она может быть использовано для вычисления A^+:
    A^+ = (A^*A)^+A^* .
  • Аналогично, если матрица (AA^*)^+ уже известна:
    A^+ = A^*(AA^*)^+ .

Особые случаи Править

  • Если столбцы матрицы A линейно независимы, тогда матрица A^* A обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой
A^+ = (A^* A)^{-1} A^*.

Это эквивалентно тому, что в первой части определения через предел убирается слагаемое с \delta. Отсюда следует что A^+ - левая обратная матрица для A:    A^+ A = I .

  • Если строки матрицы A линейно независимы, тогда матрица A A^* обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой
A^+ = A^*(A A^*)^{-1}.

Это эквивалентно тому, что во второй части определения через предел убирается слагаемое с \delta. Отсюда следует, что A^+ — правая обратная матрица для A:   A A^+ = I .

  • Если и столбцы и строки линейно независимы (что верно для квадратных невырожденных матриц), псевдообращение равно обращению:
A^+ = A^{-1} .
  • Если A и B таковы, что произведение AB определено, и
    • либо A^* A = I,
    • либо B B^* = I,
    • либо столбцы A линейно независимы и строки B линейно независимы,
тогда
(AB)^+ = B^+ A^+.
  • Псевдообращение можно применять и к скалярам, и к векторам. Это подразумевает, что их будут считать матрицами. Псевдообратный к скаляру x — ноль, если x — ноль, и обратный к x в противном случае:
x^+ = \left\{\begin{matrix} 0, & x=0;
 \\ x^{-1}, & x \ne 0. \end{matrix}\right.
  • Псевдообратный для нулевого вектора - транспонированый нулевой вектор. Псевдообратный для иного вектора - сопряжённый транспонированный вектор, делённый на квадрат своей длины:
x^+ = \left\{\begin{matrix} 0^T, & x = 0;
 \\ {x^* \over x^* x}, & x \ne 0. \end{matrix}\right.

Для доказательства достаточно проверить, что эти величины удовлетворяют определению псевдообратных.

Происхождение Править

Если (A^* A)^{-1} существует, то

Ax = b,
A^* A x = A^* b,
(A^* A)^{-1}(A^* A) x = (A^* A)^{-1}A^* b,
x = (A^* A)^{-1}A^* b,

что порождает понятие псевдообращения

A^+ = (A^* A)^{-1}A^* .

Вычисление Править

Пусть k - ранг матрицы A размера m \times n. Тогда A может быть представлена как A = BC, где B — матрица размера m \times k и C — матрица размера k \times n. Тогда


A^+ = C^*(CC^*)^{-1}(B^*B)^{-1}B^*.

Если A имеет полнострочный ранг, то есть k = m, тогда в качестве B может быть выбрана единичная матрица и формула сокращается до A^+ = A^*(AA^*)^{-1}. Аналогично, если A имеет полностолбцовый ранг, то есть, k = n, имеем A^+ = (A^*A)^{-1}A^*.

Простейший вычислительный путь получения псевдообратной матрицы — использование собственного представления матрицы (СПМ).

Если A = U\Sigma V^* — собственное представление A, тогда A^+ = V\Sigma^+ U^*. Для диагональной матрицы, такой как \Sigma, псевдообратная вычисляется обращением каждого ненулевого элемента на диагонали.

Существуют оптимизированые подходы для вычисления псевдоинверсии блочных матриц.

Если псевдоинверсия известна для некой матрицы и нужно найти псевдоинверсию для аналогичной матрицы, иногда она может быть вычислена с помощью специальных алгоритмов, требующих меньшего количества расчётов. В частности, если аналогичная матрица отличается от начальной на один изменённый, добавленный или удалённый столбец или строку — существуют накопительные алгоритмы, которые могут использовать взаимосвязь между матрицами.

Применение Править

Псевдоинверсия реализирует решение метода наименьших квадратов для системы линейных уравнений (СЛУ) *.

При этом для данной системы A x = b ищется вектор x, котрый минимизирует невязку \|A x - b\|^2, где \|\,\cdot\,\| обозначает евклидову норму.

Общее решение неоднородной системы A x = b представимо как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы A x = 0.

Лемма: Если (A A^*)^{-1} существует, тогда решение x всегда представимо как сумма решения псевдообратного решения неоднородной системы и решения однородной системы:

x = A^*(A A^*)^{-1}b + (1 - A^*(A A^*)^{-1} A)y.

Доказательство:

Ax = A A^*(A A^*)^{-1} b +  A y - A A^*(A A^*)^{-1} A y
= b +  A y - A y
= b .

Здесь вектор y случаен (с точностью до размерности). В двух других членах есть псевдообратная матрица A^*(A A^*)^{-1}. Переписав её в форме A^+, приведём выражение к форме:

x = A^+ b + (1 - A^+ A)y.

Первый член — псевдообратное решение. В терминах метода наименьших квадратов — это наилучшее приближение к настоящему решению. Это значит, что корректирующий член имеет минимальную евклидову норму. Следующий член даёт решение однородной системы A x = 0, потому что (1 - A^+ A) — оператор проектирования на ядро оператора A, тогда как (A^+A) = A^* (A A^*)^{-1} A — оператор проектирования на образ оператора A.

Ссылки Править

  1.   Э. Х. Мур (E. H. Moore): On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society 26, 394-395 (1920)
  2.   Роджер Пенроуз: A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406-413 (1955)
  3.   Роджер Пенроуз: On best approximate solution of linear matrix equations. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 52, 17-19 (1956)
  4.   Алберт А.: Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. перев. с англ. Москва, "Наука", 224 с.(1977)



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Псевдообратные матрицы. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики