Равномерная непрерывность

Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Определения

• Пусть даны два метрических пространства $(X,\varrho _{X})$ и $(Y,\varrho_Y).$ Функция $f \colon X \to Y$ называется равноме́рно непреры́вной на подмножестве $M \subset X,$ если

  $\forall \epsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\epsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(\varrho_X(x_1,x_2) < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( \varrho_Y(f(x_1),f(x_2)) < \epsilon\bigr).$

• В частности, вещественнозначная функция действительного переменного $f:M \subset \R \to \R$ равномерно непрерывна, если

  $\forall \epsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\epsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \epsilon\bigr).$

Замечаниe

Выбор $\delta$ в определении равномерной непрерывности зависит от $\epsilon$, но не от $x_1,x_2.$

Свойства

• Функция, равномерно непрерывная на множестве $M$, непрерывна на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция

$f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)$

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как при любом $\epsilon > 0$ можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на $\epsilon$.

• (Теорема Кантора — Гейне) Функция, непрерывная на компактном подмножестве $K\subset X,$ равномерно непрерывна на нём. В частности если $f\in C\bigl([a,b]\bigr),$ то она равномерно непрерывна на $[a,b].$
• Пусть $f \colon X \to Y$ суть равномерно непрерывное отображение, и $\{ x_n \}_{n=1}^\infty$ — последовательность Коши в $X.$ Тогда $\bigl\{f(x_n)\bigr\}_{n=1}^{\infty}$ — последовательность Коши в $Y.$
• Любое липшицево отображение равномерно непрерывно.

См. также

• Модуль непрерывности;
• Равностепенная непрерывность.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Равномерная непрерывность. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---