ФЭНДОМ


Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Обычно ранг матрицы A обозначается \operatorname{rang}A (\operatorname{rg}A) или \operatorname{rank}A. Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Определение Править

Пусть A_{m\times n} — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

  • нуль, если A — нулевая матрица;
  • число r \in \mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0, где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_{r+1} — окаймляющий к нему минор порядка (r+1), если они существуют.


Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы A_{m\times n} порядка k равны нулю (M_k=0). Тогда \forall M_{k+1}=0, если они существуют.

Связанные определенияПравить

  • Ранг \operatorname{rang}M матрицы M размера m \times n называют полным, если \operatorname{rang}M = \min\{m, n\}.
  • Базисный минор матрицы A — любой минор матрицы A порядка r, где r=\operatorname{rang}A.
    • Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

ПримерПравить

Матрица

\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 
                       3 & 3 & -5 & 6 \\
                       5 & -2 & -3 & -4 \end{pmatrix}

имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвёртого порядка нет.

СвойстваПравить

  • Теорема (о базисном миноре): Пусть r=\operatorname{rang}A,M_r — базисный минор матрицы A, тогда:
    1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
    2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
  • Следствия:
    • Если ранг матрицы равен r, то любые p\colon p>r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
    • Если A — квадратная матрица, то \det A=0\iff строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
    • Пусть r=\operatorname{rang}A, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
  • Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A\sim B для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A\sim B, то их ранги равны
  • Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
    • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
    • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Ссылки Править

  • matri-tri-ca.narod.ru здесь можно вычислить ранг матрицы

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ранг матрицы. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики