ФЭНДОМ


Ро́тор, или вихрьвекторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}, где \mathbf\nabla — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение Править

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

\operatorname{rot} _ \mathbf n \mathbf a=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint\limits_{L}\mathbf{ a\cdot \, dr}}{\Delta S}.

Нормаль \mathbf n к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат \mathbf\nabla \times \mathbf F вычисляется следующим образом:

\operatorname{rot}\;(F_x \mathbf i + F_y \mathbf j + F_z \mathbf k)=
\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf i+
\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf j+
\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf k.

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

\operatorname{rot}\; \mathbf{F} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\  \\
\frac{\partial}{\partial y} \\  \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix} \times \mathbf F,

или как определитель следующей матрицы:

\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\  \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{pmatrix},

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация Править

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

\mathbf{v}(\mathbf{r}) = \mathbf{v}_{O} + \mathbf{\omega} \times \mathbf{r} + \nabla\varphi + o(\mathbf{r}),

где \mathbf{\omega} — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а \varphiквадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор \mathbf{v}_{O}), вращательного движения (вектор  \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}) и потенциального движения — деформации (вектор \nabla\varphi). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство \operatorname{rot} ~\mathbf{v} = 2\mathbf{\omega}, и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то для циклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства Править

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

  • Линейность:
\operatorname{rot}\;( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{rot} ~\mathbf{F} + b\;\operatorname{rot} ~\mathbf{G}

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

  • Если \varphi — скалярное поле, а F — векторное, тогда:
\operatorname{rot} ~\varphi \mathbf{F} 
= \operatorname{grad} ~\varphi ~\times \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{rot} ~\mathbf{F},

или

\nabla\times(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \times \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\times\mathbf{F}).
\operatorname{div} ~\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0 или \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 .

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

\operatorname{div} ~\mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{F} = \operatorname{rot} ~\mathbf{G}.
  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):
\mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi \Rightarrow \operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi

для некоторого скалярного поля \varphi .

  • Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:
\oint\limits_{\partial S}\mathbf{F} \cdot\,\mathbf{dl} = 
\int\limits_S (\operatorname{rot} ~\mathbf{F}) \cdot \,\mathbf{dS}

Ротор в ортогональных криволинейных координатах Править

\operatorname{rot}\;\mathbf{A} = \operatorname{rot}\;(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) = \frac{1}{H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_2}(A_3H_3) - \frac{\partial}{\partial q_3}(A_2H_2)\right]\mathbf{q_1} +

 + \frac{1}{H_3H_1}\left[\frac{\partial}{\partial q_3}(A_1H_1) - \frac{\partial}{\partial q_1}(A_3H_3)\right]\mathbf{q_2} + \frac{1}{H_1H_2}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_2H_2) - \frac{\partial}{\partial q_2}(A_1H_1)\right]\mathbf{q_3},

где Hiкоэффициенты Ламе.

Примеры Править

Простое векторное полеПравить

Файл:Uniform curl.svg

Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:

\vec{F}(x,y)=y\boldsymbol{\hat{x}}-x\boldsymbol{\hat{y}}.

Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.

Вычислим ротор:

\vec{\nabla} \times \vec{F}  =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ [{\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y]\boldsymbol{\hat{z}}=-2\boldsymbol{\hat{z}}

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:

Более сложный примерПравить

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

F(x,y)=-x^2\boldsymbol{\hat{y}}.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении -z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

\vec{\nabla} \times \vec{F} =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ {\frac{\partial}{\partial x}}(-x^2) \boldsymbol{\hat{z}}=-2x\boldsymbol{\hat{z}}

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и -z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по -z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера Править

Рассмотрим пример × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

\mathbf{ \nabla \times} \left( \mathbf{v \times F} \right) = \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot F } \right) + \mathbf{F \cdot \nabla} \right] \mathbf{v}- \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot v } \right) + \mathbf{v \cdot \nabla} \right] \mathbf{F} \ .

Если v и поменять местами:

 \mathbf{v \  \times } \left( \mathbf{ \nabla \times F} \right) =\nabla_F \left( \mathbf{v \cdot F } \right) - \left( \mathbf{v \cdot \nabla } \right) \mathbf{ F} \ ,

что является фейнмановской записью с нижним индексом F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример × [ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

 \nabla \times \left( \mathbf{\nabla \times F} \right) = \mathbf{\nabla} (\mathbf{\nabla \cdot F}) - \nabla^2 \mathbf{F}  \ ,

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v.

Поясняющие примерыПравить

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имело бы ненулевой ротор в центре и, возможно, везде. (см. Вихревое движение).
  • В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

[1]

Примечания Править

  1. Математический словарь высшей школы. В.Т.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ротор (математика). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики