ФЭНДОМ


Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности (m, n) в тензор валентности (m-1, n-1). В координатах она записывается следующим образом:

{T_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n} \rightarrow {T_{j_1, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, i_n} = {T_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, т.е. в данном случае по i0.

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, A^i_j B^j_k есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это

 \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}.

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik}

Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.

ПримерыПравить

  • Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
  • Свёртка A^i_{\ j} v^j вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
  • Свёртка \ B_{ij} a^i b^j векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором \ g_{ij} a^i b^j дает их скалярное произведение.
  • В том числе \ B_{ij} v^i v^j - квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
  • Свёртка \ a_j b^j ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
  • Свёртка A^j_{\ j} тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы A^i_{\ j}. Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
  • Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr}

СвойстваПравить

  • Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Свёртка тензора. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики