Свёртка (математический анализ)

Свёртка фу́нкций в функциональном анализе — это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Свёртка функций

Пусть $f,g: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ — две функции вещественной переменной, интегрируемые относительно меры Лебега. Тогда их свёрткой называется функция

$f * g (t) = \int\limits_{\mathbb R} f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$.

Свойства

• Коммутативность:

$f * g = g * f$.

• Ассоциативность:

$f * (g * h) = (f * g) * h$.

• Дистрибутивность:

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h)$;

• Ассоциативность умножения на скаляр:

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g), \quad \forall a \in \mathbb{R}$.

• Правило дифференцирования:

$\mathrm{D}(f * g) = \mathrm{D}f * g = f * \mathrm{D}g$,

где $\mathrm{D}f$ обозначает производную функции $f$.

• Свойство Фурье-образа:

$\mathcal{F}[f * g] = \mathcal{F} [f] \cdot \mathcal{F} [g]$,

где $\mathcal{F}[f]$ обозначает преобразование Фурье функции $f$.

Свёртка на группах

Пусть $G$ — группа Ли, оснащённая мерой Хаара $m$, и $f,g:G \to \mathbb{R}$ — две функции, определённые на $G$. Тогда их свёрткой называется функция

$f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G$.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ и две меры $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$. Тогда их свёрткой называется мера

$\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$,

где $\mu \otimes \nu$ обозначает произведение мер $\mu$ и $\nu$.

Cвойства

• Пусть $\mu,\nu$ абсолютно непрерывны относительно меры Лебега $m$. Обозначим их производные Радона — Никодима:

$f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}$.

Тогда $\mu * \nu$ также абсолютно непрерывна относительно $m$, и её производная Радона — Никодима $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$ имеет вид

$f_{\mu * \nu} = f_{\mu} * f_{\nu}$.

• Если $\mu,\nu$ — вероятностные меры, то $\mu * \nu$ также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ — распределения двух независимых случайных величин $X$ и $Y$, то

$\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y$,

где $\mathbb{P}^{X+Y}$ — распределение суммы $X + Y$. В частности, если $X, Y$ абсолютно непрерывны и имеют плотности $f_X,f_Y$, то случайная величина $X + Y$ также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

$f_{X+Y} = f_X * f_Y$.

Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Свёртка (математический анализ). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---