Фэндом


Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается  \varepsilon_{ijk} (нередко эпсилон пишется в ином начертании: \ \epsilon_{ijk}). Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см.ниже).

Другие названия:

  • Абсолютно антисимметричный единичный тензор
  • Полностью антисимметричный единичный тензор
  • Абсолютно кососимметричный объект
  • Тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора).

Определение Править

Файл:Epsilontensor.svg

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & P(i,j,k)=+1  \\
-1 & P(i,j,k)=-1  \\
0 & i=j,\, j=k,\, k=i
\end{cases}

то есть для чётной перестановки P(i, j, k) равен 1 (для троек (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)), для нечётной перестановки P(i, j, k) равен −1 (для троек (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3)), а в остальных случаях равен нулю, при повторении. Для компонент \ \varepsilon_{ijk} в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат) это определение обычно меняется на

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+\sqrt{g} & P(i,j,k)=+1  \\
-\sqrt{g} & P(i,j,k)=-1  \\
0 & i=j,\, j=k,\, k=i
\end{cases}

Для компонент \ \varepsilon_{ijk} в левом базисе также берутся противоположные числа.

где \ g — определитель матрицы метического тензора \ g_{ij}, представляющий квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базис.

Такой набор компонент \varepsilon_{ijk} представляет тензор (точнее — псевдотензор).

При этом, конечно,  \varepsilon^{ijk} ,будет таким же, но с заменой \ \sqrt{g} на \ 1/\sqrt{g} .


\varepsilon_{ijk} может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

\varepsilon_{ijk}=\left[\vec{e}_i\vec{e}_j\vec{e}_k\right].

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешенном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объему параллелепипеда, натянутого на базис \ \{\vec {e_i}\}. Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведенным выше.

  • Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя \sqrt{g}\ в любых базисах (т.е. таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в нашем определении для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на \sqrt{g}\ объект (совпадающий с \varepsilon_{ijk} в нашем определении и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объема. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трехмерного пространства, но и для любой размерности).

Геометрический смысл Править

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объемом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трехмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трех векторов

 V = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}


Векторное произведение двух векторов

 S_i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы \vec{a} и \vec{b}, представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.


Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать \varepsilon с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объем, а под площадью — (n−1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n−1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

 V = \varepsilon_{ijkm} a^i b^j c^k d^m,
 S_i = \varepsilon_{ijkm} a^j b^k c^m.


Свойства Править

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измерений Править

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

\varepsilon_{ijk\ell\dots} =
\left\{
\begin{matrix}
 ~ \\
 ~ \\
 ~
\end{matrix}
\right.
+\sqrt{g}, если (i,j,k,\ell,\dots) есть чётная перестановка набора (1,2,3,4,\dots)\;;
-\sqrt{g}, если (i,j,k,\ell,\dots) есть нечётная перестановка набора (1,2,3,4,\dots)\;;
0, если хотя бы два индекса совпадают.


То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики \ \sqrt{g} = \sqrt{det\{g_{ij}\}} в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора (1,2,3,…,n), а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства n).

  • Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определен метрический тензор, или, скажем, \ det\{g_{ij}\} = 0 или \ det\{g^{ij}\} = 0 .

Можно показать, что для n измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

  • 
\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{ijk\dots} = n!

- что связано с тем, что существует n! перестановок набора (1,2,3,…,n), а следовательно столько же ненулевых компонент ε с n индексами.

  •  \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{pqr\dots} = \det \begin{vmatrix}
\delta_i^p & \delta_i^q & \delta_i^r & \dots \\
\delta_j^p & \delta_j^q & \delta_j^r & \dots \\
\delta_k^p & \delta_k^q & \delta_k^r & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\end{vmatrix}.

После раскрытия определителя появляется множитель n! и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

  • Определитель матрицы A размера n×n можно удобно записать с использованием n-мерного символа Леви-Чивиты
    
det\ A \ = \sum_{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} A_{1i} A_{2j} A_{3k} \cdots
= \sum_{i_1,i_2,i_3,\ldots,i_n=1}^n \varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \cdots i_n} A_{1 i_1} A_{2 i_2} A_{3 i_3} \cdots A_{n i_n}

что является по сути просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространенных). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты \ \varepsilon_{ijk\ldots} принимают тут значения ±1.


\vec{p} = {\vec a \times \vec b \times \vec c \cdots} =
\sum_{i,j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} \vec f^i a^j b^k c^m \cdots,

где p_i = \sum_{j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} a^j b^k c^m \cdots - его компоненты, а \vec{f}^{\ i} - базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе).

Безындексная запись (для n измерений) Править

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}=\frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}}

(для произвольного тензора \eta, учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. также Править

Ссылки Править

  • Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. стр. 31).
  • Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
  • Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, (1977) Москва, «Мир» (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Символ Леви-Чивиты. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики