ФЭНДОМ


Скалярный потенциал векторного поля \mathbf{E} — это скалярная функция \phi такая, что во всех точках области определения поля

\mathbf{E}=\operatorname{grad}\,\phi,

где \operatorname{grad}f обозначает градиент f. Иногда в физике потенциалом называют величину, противоположную по знаку.

Потенциальные поля Править

Файл:GravityPotential.jpg

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального поля его криволинейный интеграл между двумя точками

\phi(\mathbf r) = \int\limits_C \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int\limits_a^b \mathbf{E}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{\dot r}(t)\,dt

не зависит от пути интегрирования C = \left\{ \mathbf{r}(t) | t \in [a,b] \right\}. Это равносильно тому, что для любого замкнутого контура

\int\limits_C \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 0

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

\mathbf{E} = \operatorname{grad}\,\phi \Leftrightarrow \operatorname{rot}\,\mathbf{E} = 0

Обобщением этой теоремы на случай произвольного конечномерного пространства является лемма Пуанкаре. Для таких пространств существует изоморфизм между векторными полями \mathbf{E} и 1-формами \omega_{\mathbf{E}}, при этом вопрос о существовании потенциала сводится к вопросу об обращении внешнего дифференцирования. Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна.

Заметим, что в общем случае неодносвязного пространства условия замкнутости недостаточно. Легко проверить, что поле на плоскости

\mathbf{E} = \left( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right)

является безвихревым в любой односвязной области, не содержащей точку (0,0), однако

\int\limits_C \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 2\pi

для любого контура C, один раз обходящего вокруг начала координат.

Ньютонов потенциал Править

Из любого векторного поля в \mathbb{R}^3 можно выделить его потенциальную составляющую. Соответствующий ей потенциал можно записать в явном виде, не производя разложение самого поля. Он определяется интегралом, называющимся ньютоновым потенциалом:

\phi(\mathbf{r}_0) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\operatorname{div}\,\mathbf{E}}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV

При этом дивергенция поля должна убывать на бесконечности быстрее, чем \frac{1}{r^2}. В случае безвихревого поля этот интеграл даёт скалярный потенциал поля.

Дивергенцию \operatorname{div}\,\mathbf{E} можно отождествить с плотностью зарядов \rho(\mathbf{r}). В частности, для поля

\mathbf{E} = - \frac{\mathbf{r}}{r^3}

получаем обычную формулу для ньютонова гравитационного потенциала точечной массы, расположенной в начале координат:

\phi(\mathbf{r}_0) = \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(\mathbf{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV = \frac{1}{r}

где \delta(\mathbf{r}) — трёхмерная дельта-функция Дирака.

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Скалярный потенциал. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики