Скалярный потенциал

Скалярный потенциал векторного поля $\mathbf{E}$ — это скалярная функция $\phi$ такая, что во всех точках области определения поля

$\mathbf{E}=\operatorname{grad}\,\phi,$

где $\operatorname{grad}f$ обозначает градиент $f$. Иногда в физике потенциалом называют величину, противоположную по знаку.

Потенциальные поля

Файл:GravityPotential.jpg

График гравитационного потенциала однородного диска в его плоскости.

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального поля его криволинейный интеграл между двумя точками

$\phi(\mathbf r) = \int\limits_C \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int\limits_a^b \mathbf{E}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{\dot r}(t)\,dt$

не зависит от пути интегрирования $C = \left\{ \mathbf{r}(t) | t \in [a,b] \right\}$. Это равносильно тому, что для любого замкнутого контура

$\int\limits_C \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 0$

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

$\mathbf{E} = \operatorname{grad}\,\phi \Leftrightarrow \operatorname{rot}\,\mathbf{E} = 0$

Обобщением этой теоремы на случай произвольного конечномерного пространства является лемма Пуанкаре. Для таких пространств существует изоморфизм между векторными полями $\mathbf{E}$ и 1-формами $\omega_{\mathbf{E}}$, при этом вопрос о существовании потенциала сводится к вопросу об обращении внешнего дифференцирования. Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна.

Заметим, что в общем случае неодносвязного пространства условия замкнутости недостаточно. Легко проверить, что поле на плоскости

$\mathbf{E} = \left( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right)$

является безвихревым в любой односвязной области, не содержащей точку $(0,0)$, однако

$\int\limits_C \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 2\pi$

для любого контура $C$, один раз обходящего вокруг начала координат.

Ньютонов потенциал

Из любого векторного поля в $\mathbb R^{3}$ можно выделить его потенциальную составляющую. Соответствующий ей потенциал можно записать в явном виде, не производя разложение самого поля. Он определяется интегралом, называющимся ньютоновым потенциалом:

$\phi(\mathbf{r}_0) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\operatorname{div}\,\mathbf{E}}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV$

При этом дивергенция поля должна убывать на бесконечности быстрее, чем $\frac{1}{r^{2}}$. В случае безвихревого поля этот интеграл даёт скалярный потенциал поля.

Дивергенцию $\operatorname{div}\,\mathbf{E}$ можно отождествить с плотностью зарядов $\rho(\mathbf{r})$. В частности, для поля

$\mathbf{E} = - \frac{\mathbf{r}}{r^3}$

получаем обычную формулу для ньютонова гравитационного потенциала точечной массы, расположенной в начале координат:

$\phi(\mathbf{r}_0) = \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(\mathbf{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV = \frac{1}{r}$

где $\delta(\mathbf{r})$ — трёхмерная дельта-функция Дирака.

См. также

• Векторный потенциал
• Разложение Гельмгольца (англ.)

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Скалярный потенциал. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---