ФЭНДОМ


Сме́шанное произведе́ние  ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) векторов \bar{a}, \bar{b}, \bar{c}скалярное произведение вектора \bar{a} на векторное произведение векторов \bar{b} и \bar{c}:

(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}) = \langle\bar{a}, [\bar{b}, \bar{c}]\rangle = \bar{a}\cdot\left(\bar{b}\times\bar{c}\right).

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).

Свойства Править

  • Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
        (\bar a,\bar b,\bar c)=(\bar b,\bar c,\bar a)=(\bar c,\bar a,\bar b)=-(\bar b,\bar a,\bar c)=-(\bar c,\bar b,\bar a)=-(\bar a,\bar c,\bar b);
    т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.
  • Смешанное произведение  ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов  \bar{a}, \bar{b} и \bar{c} :
         ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.
    В частности,
    • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  • Смешанное произведение  ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами  \bar{a}, \bar{b} и \bar{c}; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
(\bar a,\bar b,\bar c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение Править

В \ n-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы  n \times n , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный \ n-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

(\bar a,\bar b,\bar c, ...) = \sum_{i,j,k,...} \varepsilon_{ijk...}a^i b^j c^k ...


В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также Править




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Смешанное произведение. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики