Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )$ векторов $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ — скалярное произведение вектора $\bar{a}$ на векторное произведение векторов $\bar{b}$ и $\bar{c}$:

$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}) = \langle\bar{a}, [\bar{b}, \bar{c}]\rangle = \bar{a}\cdot\left(\bar{b}\times\bar{c}\right)$.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
      $(\bar a,\bar b,\bar c)=(\bar b,\bar c,\bar a)=(\bar c,\bar a,\bar b)=-(\bar b,\bar a,\bar c)=-(\bar c,\bar b,\bar a)=-(\bar a,\bar c,\bar b);$
  т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.
• Смешанное произведение $( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )$ в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $\bar{a}, \bar{b}$ и $\bar{c}$:
      $( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.$
  В частности,
  • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
• Смешанное произведение $( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами $\bar{a}, \bar{b}$ и $\bar{c};$ знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты:

$(\bar a,\bar b,\bar c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k$

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В $\ n$-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы $n \times n$, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный $\ n$-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

$(\bar a,\bar b,\bar c, ...) = \sum_{i,j,k,...} \varepsilon_{ijk...}a^i b^j c^k ...$

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также

• Тройное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Смешанное произведение. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---