ФЭНДОМ


Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора Править

Пусть  L  — линейное пространство над полем  K ,  A: L \to L  — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования  A называется такой ненулевой вектор  x \in L , что для некоторого  \lambda \in K

 A x = \lambda x

Собственным значением линейного преобразования  A называется такое число  \lambda \in K , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение  A x = \lambda x имеет ненулевое решение  x \in L .

Собственным подпространством линейного преобразования  A для данного собственного числа  \lambda \in K называется множество всех собственных векторов  x \in L , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  E_{\lambda} . По определению,

 E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot 1)

где 1 — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования  A для данного собственного значения  \lambda \in K называется такой ненулевой вектор  x \in L , что для некоторого натурального числа  m

 (A-\lambda \cdot 1)^m x =0

Если  m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть (A-\lambda \cdot 1)^{m-1} x \neq 0 ), то  m называется высотой корневого вектора  x .

Корневым подпространством линейного преобразования  A для данного собственного числа  \lambda \in K называется множество всех корневых векторов  x \in L , соответстветствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  V_{\lambda} . По определению,

 V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot 1)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda},

где  V_{m,\lambda}= \ker(A-\lambda \cdot 1)^m

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств Править

Общий случай Править

Подпространство V \subset L называется инвариантным подпространством линейного преобразования A ( A-инвариантным подпространством), если

AV \subseteq V.
  • Собственные подпространства  E_{\lambda} , корневые подпространства  V_{\lambda} и подпространства  V_{m,\lambda} линейного оператора A являются A-инвариантными.
  • Собственные векторы являются корневыми (высоты 1):  E_{\lambda} \subseteq V_{\lambda} ;
  • Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей
A= \begin{pmatrix} 1&  1\\ 0&1\end{pmatrix}
(A-1)^2=0 , и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).
  • Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
 V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\} если  \lambda \neq \mu .

Конечномерные линейные пространства Править

Выбрав базис в  n-мерном линейном пространстве  L , можно сопоставить линейному преобразованию  A: L \to L квадратную  n\times n матрицу и определить для неё характеристический многочлен

 P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot 1) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \lambda^k.
  • Характеристический многочлен не зависит от базиса в L. Его коэффициенты являются инвариантами оператора A. В частности, a_0 = \det\,A, a_{n-1} = \operatorname{tr}\, A не зависят от выбора базиса.
  • Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
  • Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение n линейных множителей

 P_A(\lambda)=\prod_{i=1}^n(\lambda - \lambda_i )
где  \lambda_i \; (i=1,...n ) — собственные значения; некоторые из  \lambda_i могут быть равны. Кратность собственного значения  \lambda_i — это число множителей равных  \lambda - \lambda_i в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).
  • Размерность корневого пространства V_{\lambda_i} равна кратности собственного значения.
  • Векторное пространство  L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):
 L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}
где суммирование производится по всем \lambda_i — собственным числам  A.
  • Геометрическая кратность собственного значения  \lambda_i — это размерность соответствующего собственного подпространства  E_{\lambda_i} ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку  E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i}

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы Править

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор  A, коммутирующий со своим сопряжённым  A^*:

 A A^*=A^* A.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые — иначе эрмитовы — операторы ( A =A^*), антиэрмитовы операторы ( A =-A^*) и унитарные операторы (A^{-1} =A^*), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

  • Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.
  • Собственные векторы нормального оператора  A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если A x=\lambda x, A y=\mu y и \lambda \neq \mu, то (x,y)=0. (Для произвольного оператора это неверно.)
  • Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.
  • Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.
  • Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности |\lambda|=1 .
  • В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора, соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
 L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i},
где суммирование производится по всем \lambda_i — собственным числам  A, а  E_{\lambda_i} взаимно ортогональны для различных \lambda_i.
  • Последнее свойство для нормального оператора является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы Править

Квадратная вещественная n \times n матрица A=(a_{ij}) называется положительной, если все её элементы положительны: a_{ij} > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r, все координаты которого строго положительны. Вектор e_r — единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор e_r может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор v_0 с положительными координатами. Положим:

v_{k+1} = \frac{A v_{k}}{\|A v_{k}\|}

Последовательность v_{k} сходится к нормированному собственному вектору e_r / \|e_r\|.

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература Править

  • Гантмахер Ф. Р., Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
  • Уилкинсон Д. Х., Алгебраическая проблема собственных значений. — М.:Наука, 1970. — 564 с.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Собственные векторы, значения и пространства. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики