ФЭНДОМ


В линейной алгебре, сопровожда́ющей ма́трицей монического многочлена


p(t)=c_0 + c_1 t + \dots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n

называется следующая квадратная матрица

C(p)=\begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \\
\end{bmatrix}.

СвойстваПравить

Многочлен p(x) одновременно является характеристическим и минимальным многочленом матрицы C(p), именно в этом смысле матрица C(p) сопровождает многочлен p(x).

Если A - матрица размерности n \times n с элементами из поля \mathbb{F}, тогда следующие утверждения эквивалентны:

Не любая квадратная матрица подобна сопровождающей, но любая квадратная матрица подобна блочно-диагональной матрице, каждый из блоков которой является сопровождающей матрицей. Более того, можно подобрать эти сопровождающие матрицы так, что их многочлены будут делить друг друга. Такая матрица однозначно определяется из исходной квадратной матрицы. Это так называемая Фробениусова нормальная форма A.

ДиагонализуемостьПравить

Если у многочлена p(x) n корней: \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n (являющихся собственными значениями матрицы C(p)) ,- то C(p) диагонализуема, то есть представима в виде

V C(p) V^{-1} = \mbox{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots,\lambda_n),

где V - матрица Вандермонда, соответствующая корням многочлена p(x).

Линейные рекуррентные последовательностиПравить

Транспонированная сопровождающая матрица

C^T(p)=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
-c_0 & -c_1 & -c_2 & \cdots & -c_{n-1}\\
\end{bmatrix}

характеристического многочлена

p(t)=c_0 + c_1 t + \dots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n

генерирует линейную рекуррентную последовательность a_0, a_1, \dots, a_k, \dots в следующем смысле

C^T(p)\begin{bmatrix}a_k\\
a_{k+1}\\
\vdots \\
a_{k+(n-1)}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}a_{k+1}\\
a_{k+2}\\
\vdots \\
a_{k+n}
\end{bmatrix},

где элементы последовательности удовлетворяют системе линейных уравнений

a_{k + n} = -c_0 a_k - c_1 a_{k + 1} - \dots - c_{n - 1} a_{k + n - 1}

для всех k \geq 0.

ЛитератураПравить

  • R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 4.3, 1985.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Сопровождающая матрица. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики