Фэндом

Виртуальная лаборатория

Спинор трёхмерного пространства

204 619статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

В трехмерном пространстве спино́р — ориентированный (поляризованный) изотропный вектор.

Такие величины впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913. Они были вновь открыты в 1929 Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике. Он назвал их спинорами (англ. spin — вращаться).

Спиноры 3-мерного эвклидова пространства обладают алгеброй близкой алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона. Именно, с каждым вектором x = (x1, x2, x3) из действительных (или комплексных) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу

{\bold x}\rightarrow X= \left(\begin{matrix}x_3&x_1-ix_2\\x_1+ix_2&-x_3\end{matrix}\right).

Матрицы такой формы обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:

  • det X = — (длина x)2.
  • X2</sub> = (длина x)2I, где I — единичная матрица.
  • \frac{1}{2}(XY+YX)=({\bold x}\cdot{\bold y})I
  • \frac{1}{2}(XY-YX)=iZ, где Z — матрица ассоциированная с векторным произведением z = x × y.
  • Если u — единичный вектор, то UXU — матрица, ассоциированная с вектором, получаемым из x отражением в плоскости ортогональной u.
  • Согласно линейной алгебре любое вращение в 3-мерном пространстве представимо в виде двух отражений. (Сходно, любое меняющее направление ортогональное преобразование есть либо отражение, либо произведение трех (вообще, нечетного числа) отражений.) Таким образом, если R — вращение, представимое в виде двух последовательных отражений в плоскостях перпендикулярных единичным векторам u1 и u2, то матрица U2U1XU1U2 представляет вращение R вектора x.

Имея эффективный способ представления всей геометрии вращений 3-мерного пространства набором комплексных 2×2-матриц, естественно задаться вопросом, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовем спинором вектор-столбец

\xi=\left[\begin{matrix}\xi_1\\\xi_2\end{matrix}\right]

с комплексными компонентами ξ1 и ξ2. Очевидно, в пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Но здесь есть важное свойство — факторизация вращения не единственна. Ясно, что если XRXR-1 есть представление вращения, то замена R на -R даст то же самое вращение. На самом деле, можно легко показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.

Литература Править

[1] Э. Картан. Теория спиноров.

[2] V.I. Borodulin, R.N. Rogalyov, S.R. Slabospitsky. COmpendium of RElations.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Спинор трёхмерного пространства. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики