Фэндом


FD e mu.jpg

Распределение Ферми — Дирака как функция от ε/μ, построенная для 4 различных температур. С ростом температуры ступенька размывается

Статистика Ферми — Дирака в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние может занимать не более одной частицы); определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим уровням системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 г. итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией \epsilon _i есть

 n_i = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1}

где:

n_i \ — среднее число частиц в состоянии i,
\epsilon_i \ — энергия состояния i,
g_i \ кратность вырождения состояния i (число состояний с энергией \epsilon_i \ ),
\mu химический потенциал (который равен энергии Ферми E_F \ при абсолютном нуле температуры),
kпостоянная Больцмана,
T — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур  \mu = E_F \ . В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными g_i = 1 \ ), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

 F(E) = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-E_F) / k T} + 1}
FD kT e.jpg

Распределение Ферми — Дирака как функция температуры. Заполнение уровней с энергиями  \epsilon > \mu растёт с увеличением температуры

Применение Править

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц (N/V) ≥  n_q (где  n_q — квантовая концентрация). Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака (Ф—Д) применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна (Б—Э) применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы A в состоянии 1 и частицы B в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы B в состоянии 1 и частицы A в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. И Ф—Д, и Б—Э приближаются к статистике Максвелла— Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Ф-Д часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности и электроники в целом.

Вывод распределения Править

FD e kT.jpg

Распределение Ферми — Дирака как функция от ε. Высокоэнергетические состояния имеют меньшую вероятность. Или, низкоэнергитические состояния более вероятны

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна \mathbf{\epsilon}. Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

Z \;= \sum_s e^{ -( E(s) - \mu N(s) ) / kT}

где

E(s) \ — энергия состояния s,
N(s) \ — число частиц, находящихся в состоянии s,
\muхимический потенциал,
s — это индекс, пробегающий все возмножные микросостояния системы.

В данном контексте, система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято n частицами, то энергия системы — n \cdot \epsilon. Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и тоже физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся s_1 and s_2 соответственно. Видно, что E(s_1) = \; \epsilon, N(s_1) = \; 1, и E(s_2) = \; 0, N(s_2) = \; 0. Поэтому функция распределения принимает вид:

Z = \sum_{i = 1} ^2 e^{ -( E(s_i) - \mu N(s_i) ) / kT} 
=  e^{ -( \epsilon - \mu ) / kT} + 1 .

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии s_{\alpha} вычисляется по формуле

P( s_{\alpha} ) = \frac{e^ {-( E(s_{\alpha}) - \mu N(s_{\alpha})} }{Z}.

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии s_1, вероятность которого

\bar{n} = P( s_1 ) = 
\frac{ e^{ -( E(s_1) - \mu N(s_1) ) / kT} }{Z}  
= \frac{e^{ -( \epsilon - \mu ) / kT}}{e^{ -( \epsilon - \mu)/ kT} + 1}
= \frac{1}{e^{ ( \epsilon - \mu)/ kT} + 1}.

\bar{n} называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры T, \bar{n}(\epsilon) есть вероятность того, что состояние с энергией ε будет занято фермионом. Обратите внимание, что \bar{n} является убывающей функцией от ε. Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

Обратите внимание, что энергетический уровень ε имеет вырождение \; g_{\epsilon}. Теперь можно произвести простую модификацию:

\bar{n} = g_{\epsilon} \cdot \frac{1}{e^{ ( \epsilon - \mu)/ kT} + 1}.

Это число — ожидаемое число частиц, в суммарном состоянии с энергией ε.

Для всех температур T, \bar{n}(\mu) = \frac{1}{2}. Это означает, что состояния с энергией μ всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполнеными или свободными.

В пределе T \rightarrow 0, \bar{n} становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала μ будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала μ будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается E _F, то есть

 E _F = \;  \mu(T = 0).

Влияние температуры Править

Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми T_F = \frac{ E _F }{k_B}, что часто используется, как аппроксимация \mathbf{\mu}\; E_F . В реальности же:

\mu = E _F \left[ 1- \frac{\pi ^2}{12} \left(\frac{k_BT}{E _F}\right) ^2 + \frac{\pi^4}{80} \left(\frac{k_BT}{E _F}\right)^4 + \cdots \right]

Другой вывод Править

См. также Править


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Статистика Ферми — Дирака. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики