ФЭНДОМ


Стационарная теория возмущений в квантовой механике может применяться для систем, для которых существует диагонализуемый оператор Гамильтона и вклада возмущения:  H = H_0 + \lambda H_1 при этом параметр  \lambda должен быть настолько маленьким, чтобы нарушение не слишком искажало спектр  H^0 , однако для этого не имеется никаких точных правил.

В теории возмущений решение представляется в виде

|n\rangle = |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle +\lambda^2 |n^2\rangle+...
E_n = E^0_n+\lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n+...

Конечно, должно быть выполнено уравнение Шрёдингера:

 H|n\rangle = E_n|n\rangle

Подставляя разложение в это уравнение, получим

(H_0+\lambda H_1)(|n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...) =
 (E^0_n + \lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n + ... ) ( |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle + ...)

Собирая слагаемые одинакового порядка по \lambda, получим последовательности уравнений

 H_0 |n^0\rangle = E^0_n|n^0\rangle
H_0 |n^1\rangle + H_1 |n^0\rangle = E^0_n |n^1\rangle + E^1_n|n^0\rangle
H_0 |n^2\rangle + H_1 |n^1\rangle = E^0_n |n^2\rangle + E^1_n |n^1\rangle + E^2_n |n^0\rangle

и т.д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения  E^k_n и  n^k . Слагаемое с индексом  k = 0 - это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о "приближении нулевого порядка". Аналогично говорят о "приближении k-го порядка", если рассчитывают решение до слагаемых  E^k_n и  n^k .

Из второго уравнения получаем, что можно определяться однозначно решения для  n^1 только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация  n^1 и  n^0 является решением. Возникает вопрос о нормализиции. Так как мы можем предположить, что \langle n^0|n^0\rangle = 1, но в то же время теория из посылок теории возмущений следует \langle n|n\rangle = 1. Тогда в первом порядке (по параметру λ) для условия нормировки нужно положить \langle n^0|n^1\rangle +\langle n^1|n^0\rangle=0. Поскольку выбор фазы в квантовой механике произволен можно без потери общности сказать, что число \langle n^0|n\rangle реально. Поэтому \langle n^0|n^1\rangle = \langle n^1|n^0\rangle , и как следствие налагаемое дополнительное условие примет вид:

\langle n^0|n\rangle = 1

Так как невозмущённое состояние  n^0 должно быть нормируемо, сразу следует

\lambda\langle n^0|n^1\rangle + \lambda^2\langle n^0|n^2\rangle + \lambda^3\langle n^0|n^3\rangle + \ldots = 0

и из этого

\langle n^0|n^k\rangle = \delta_{0k}

Получаем поправку в первом порядке

E^1_n = \langle n^0| H_1|n^0\rangle
|n^1\rangle = \sum_{m\neq n} \frac{\langle m^0|H_1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m}|m^0\rangle

и для поправки энергии во втором порядке

E^2_n = \sum_{m\neq n} \frac{|\langle m^0|H_1|n^0\rangle|^2}{E^0_n-E^0_m}




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Стационарная теория возмущений в квантовой механике. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики