ФЭНДОМ


Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение Править

Субдифференциалом \partial f(x) выпуклой функции f: E \rightarrow \mathbb R в точке x_0   называется множество, состоящее из всех линейных функционалов p \in E^*, удовлетворяющих для всех x \in E неравенству

 p( x-x_0 ) \leq f(x)-f(x_0) .

Функция f(x) называется субдифференцируемой в точке x_0, если множество  \partial f(x_0) непусто.

Вектор  p \in E^* , принадлежащий субдифференциалу \partial f(x_0) , называется субградиентом функции  f(x) в точке  x_0 .

Свойства Править

Пусть f1(x), f2(x) — выпуклые конечные функции, \lambda \geq 0 , тогда

  • \partial \left(f_1(x)+f_2(x) \right) = \partial \left(f_1(x) \right)+ \partial \left(f_2(x)\right) , сумма понимается в смысле суммы Минковского.
  • \partial \left(\lambda f_1(x)\right)=\lambda \partial f_1(x)
  • если функция f: E \rightarrow \mathbb R выпукла и конечна, то она субдифференцируема в любой точке  x \in E, то есть \partial f(x)\neq \varnothing , и ее субдифференциал \partial f(x) является множеством компактным и выпуклым
  • пусть функция  f: E \rightarrow \mathbb R выпукла и конечна. В этом случае функция f(x) дифференцируема в точке x_0 \in E тогда и только тогда, когда ее субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора \partial f(x_0)=\left\{
\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}\right\}
  • функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

Ссылки Править

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
  • Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Субдифференциал. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики