ФЭНДОМ


Тензорной алгеброй линейного пространства V (обозначается T(V)) называется алгебра тензоров любого ранга над V с операцией тензорного умножения.

Также тензорной алгеброй называется соответствующий раздел линейной алгебры (то есть раздел, занимающийся тензорами, определёнными над одним линейным пространством, в отличие от тензорного анализа, занимающегося тензорными полями, заданными на касательном расслоении многообразия и дифференциальными соотношениями для этих полей).

Определение Править

Пусть Vвекторное пространство над полем K. Для любого натурального числа k определим k-ую тензорную степень V как тензорное произведение V на себя k раз:

T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V

Таким образом, TkV состоит из всех тензоров над V ранга k. Будем считать, что T0V — это основное поле K (одномерное векторное пространство над собой).

Определим T(V) как прямую сумму TkV для всех k = 0,1,2,…

T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots

Умножение в T(V) определяется задаваемым тензорным произведением каноническим изоморфизмом

T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V

который потом продолжается по линейности на всю T(V). Такое умножение превращает тензорную алгебру T(V) в градуированную алгебру.

Функториальность Править

Тензорная алгебра T(V) — это свободная алгебра векторного пространства V. Тензорная алгебра является наиболее общей алгеброй пространства V, то есть любое линейное отображение f: V\to A пространства V в алгебру A над K может быть продолжено единственным образом до гомоморфизма \bar f: T(V) \to A. Это утверждение выражается коммутативной диаграммой:

где i — каноническое вложение V в T(V). Тензорную алгебру можно определить как единственную (с точностью до изоморфизма) алгебру, обладающую таким свойством, хотя необходимо ещё явно показать, что такая алгебра существует.

Таким образом, тензорная алгебра функториальна, то есть T — это функтор из категории K-Vect векторных пространств над K в категорию K-Alg K-алгебр.

Некоммутативные многочлены Править

Если размерность V конечна и равна n, то тензорную алгебру можно рассматривать как алгебру многочленов над K с n некоммутативными переменными. Базисным векторам V соответствуют некоммутативные переменные, причем их умножение будет ассоциативным, дистрибутивным и K-линейным.

Заметим, что алгебра многочленов над V — это не T(V), а T(V^*): однородная линейная функция на V является элементом сопряженного пространства V^*.

Факторалгебры Править

В силу общности тензорной алгебры многие другие важные алгебры пространства V можно получить, накладывая определенные ограничения на образующие элементы тензорной алгебры, то есть строя факторалгебры от T(V). Например, так можно построить внешнюю алгебру, симметрическую алгебру и алгебру Клиффорда.

Вариации и обобщенияПравить

Конструкция тензорной алгебры над линейным пространством естественно обобщается до тензорной алгебры над модулем M над коммутативным кольцом. Если R — некоммутативное кольцо, можно построить тензорное произведение для любых R-бимодулей над M. Для обычных R-модулей оказывается невозможным построить кратное тензорное произведение.

Ссылки Править

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс» — 2002, ISBN 5-88688-060-7

См. также Править




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Тензорная алгебра. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики