ФЭНДОМ


Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей D(M) дифференцируемого многообразия M. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т.д.


Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры D(M).


1) Ковариантная производная вдоль векторного поля X — линейное отображение \nabla_X пространства векторных полей D^1(M) многообразия M, зависящее от векторного поля X и удовлетворяющее условиям:


\nabla_fX+{}_{gV}Z=f\nabla_XZ,


\nabla_X(fZ)=f\nabla_XZ+(Xf)Y,


где X, Y, Z\in D'(M), f, g — гладкие функции на M. Определяемые этим оператором связность \Gamma и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры D(M) в себя; при этом отображение \nabla X есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со сверткой.


В локальных координатах u^1, u^2, \ldots, u^n ковариантная производная тензора с компонентами T(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}}) относительно вектора X=\xi^i\frac{\partial}{\partial u^i} определяется так:


\nabla_XT=\xi^s(\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots m}}{\partial u^s}+\Gamma^{i_1}_{k_s}T^{k\ldots i_l}_{j_1 \ldots j_m}+\ldots-\Gamma^k_{j_{i,s}}T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}),


\Gamma^i_{ks} — объект связности \Gamma.


2) Производная Ли вдоль векторного поля X — оторажение L_X пространства D'(M), определяемое формулой L_X~:~Y\rightarrow [X,~Y], где [X,~Y] — коммутатор векторных полей X, Y. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования D(M), сохраняет тип тензоров и перестановочен со сверткой. В локальных координатах производная Ли тензора T(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}}) выражается так:


L_X T=\xi^k\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots j_m}}{\partial u^k}+T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}\frac{\partial\xi^k}{\partial u^i}+\ldots-T^{k\ldots i_l}_{j_1\ldots j_m}\frac{\partial\xi^{i_1}}{\partial u^k}-\ldots.


3) Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор d, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени p форму такого же вида и степени p+1, удовлетворяющий условиям:


d(\omega_1\wedge\omega_2)=d\omega_1\wedge\omega_2+(-1)^r\omega_1\wedge d\omega_2,~~~~d(d\omega)=0,


где \wedge — символ внешнего произведения, r — степень \omega_1. В локальных координатах внешняя производная тензора \omega\langle\omega_{i_1\ldots i_p}\rangle выражается так:


d\omega=\sum_{n=0}^\infty (-1)^k\frac{\partial\omega_{i_1\ldots \hat i_k\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_k}}.


Оператор d — обобщение оператора \operatorname{rot}.


4) Тензор кривизны симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора g_{if} представляет собой действие некоторого нелинейного оператора R:


g_{if}\rightarrow R^s_{mlk}=\frac{\partial\Gamma^s_{km}}{\partial u^l}-\frac{\partial\Gamma^s_{kl}}{\partial u^m}+\sum_p(\Gamma^s_{lp}\Gamma^p_{km}-\Gamma^s_{mp}\Gamma^p_{kl}),


где


\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{is}(\frac{\partial g_{js}}{\partial u^k}+\frac{\partial g_{ks}}{\partial u^s}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^s}).

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Тензорный анализ. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики