ФЭНДОМ


В дифференциальной геометрии, тензор кривизны Вейля, названный в честь Германа Вейля, представляет собой часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием что построенный по нему тензор Риччи равен нулю.

Тензор Вейля может иметь нетривиальную форму только в пространствах с размерностью не меньше четырёх. В двумерном и трёхмерном пространствах тензоры Вейля тождественно равны нулю.

Тензор Вейля можно получить из тензора кривизны, если вычесть из него определенные комбинации тензора Риччи и скалярной кривизны. Формула для тензора Вейля легче всего записывается через тензор Римана в форме тензора валентности (0,4):

W = R - \frac{1}{n-2}\left(Ric - \frac{s}{n}g\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g

где n - размерность многообразия, g - метрика, R - тензор Римана, Ric - тензор Риччи, s - скалярная кривизна, а h O k - так называемое произведение Кулкарни-Номидзу двух симметричных тензоров валентности (0,2):

(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) = h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)\,
{}-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)\,

В компонентах, тензор Вейля задается выражением:

W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b}

где R_{abcd} - тензор Римана, R_{ab} - тензор Риччи, R - скалярная кривизна и [] обозначает операцию антисимметрирования.

Тензор Вейля обладает интересным свойством: он остается инвариантным при конформных преобразованиях метрики. То есть, если для данной метрики g ввести новую метрику \tilde{g}_{ij} = \Omega g_{ij} при помощи некоторой функции \Omega, то (1,3)-валентный тензор Вейля не изменяется: \tilde{W}_{abc}{}^d = {W_{abc}}^d. По этой причине тензор Вейля еще называют конформным тензором. Из этого свойства следует, что для того, чтобы многообразие было конформно евклидовым, необходимо чтобы его тензор Вейля равнялся нулю. Для размерностей ≥ 4 это условие оказывается также и достаточным. Для пространств размерности 3 необходимым и достаточным условием конформной эвклидовости является равенство нулю тензора Коттона.

См. также Править




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Тензор Вейля. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики