Фэндом


Теоре́ма Ги́льберта-Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.

Формулировка теоремы Править

Для любого вполне непрерывного симметричного оператора A в гильбертовом пространстве H существует ортонормированная система \{x_i\} собственных элементов, соответствующих собственным значениям \{\lambda_n\} оператора A, такая, что для любого x\in H имеет место представление

x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\operatorname{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k,

причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора A. Если их бесконечное число, то \lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0.

Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов Править

Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.

Для интегрального оператора (Kg)(x)=\int\limits_G\!K(x,y)g(y)\,dy, теорема переформулируется так: если функция f(x) истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро K(x,y) (т.е. \exists g(x)\in L^2(G), такая, что f(x)=(Kg)(x)), то ее ряд Фурье по собственным функциям ядра K(x,y) сходится регулярно на G к этой функции:

f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k} \varphi_k(x),

где \varphi_k и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям \lambda_k.

См. также Править

Оператор Гильберта — Шмидта

Литература Править

В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Теорема Гильберта-Шмидта. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики