Фэндом


Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Формулировка Править

Пусть фиксировано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Предположим, что \{f_n\}_{n=1}^{\infty} и f — измеримые функции на X, причём f_n(x) \to f(x) п.в. Тогда если существует определенная на том же пространстве интегрируемая функция g, такая что \forall n \in \mathbb{N}\quad |f_n(x)| \leq g(x) п.в., то функции f_n, f интегрируемы и

\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mu(dx).

Замечание Править

Условие мажорированности последовательности \{f_n\} интегрируемой функцией g принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть (X,\mathcal{F},\mu) = ([0,1],\mathcal{B},m), где \mathcal{B} — борелевская σ-алгебра на [0,1], а m — мера Лебега на том же пространстве. Определим

f_n(x) = \left\{
\begin{matrix}
n, & x \in \left[0,\frac{1}{n}\right) \\[10pt]
0, & x \in \left[\frac{1}{n},1\right]
\end{matrix} \right..

Тогда последовательность \{f_n\} не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

\int\limits_0^1\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).

Приложение к теории вероятностей Править

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов \Omega, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся п.н. последовательность случайных величин: X_n \to X п.н. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина Y, такая что \forall n \in \mathbb{N}\quad |X_n| \leq Y п.н. Тогда случайные величины X_n, X интегрируемы и

\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}X_n = \mathbb{E} X.

Вариации и обобщения Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Теорема Лебега о мажорируемой сходимости. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики