Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.
Формулировка[]
Пусть фиксировано пространство с мерой . Предположим, что и — измеримые функции на , причём п.в. Тогда если существует определенная на том же пространстве интегрируемая функция , такая что п.в., то функции интегрируемы и
Замечание[]
Условие мажорированности последовательности интегрируемой функцией принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть , где — борелевская σ-алгебра на , а — мера Лебега на том же пространстве. Определим
Тогда последовательность не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и
Приложение к теории вероятностей[]
Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся п.н. последовательность случайных величин: п.н. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина , такая что п.н. Тогда случайные величины , интегрируемы и
- .
Вариации и обобщения[]
- Теорема Фату — Лебега (англ.)
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Теорема Лебега о мажорируемой сходимости. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .