ФЭНДОМ


В математической физике, теорема Лиувилля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в статистической и гамильтоновой механике. Она гласит, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна вдоль траекторий системы — плотность точек системы около данной точки системы, движущихся через фазовое пространство постоянно во времени.

Уравнение Лиувилля Править

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения в фазовом пространстве(хотя плотность правильный математический термин, но физики называют это распределением). Рассмотрим динамическую систему с координатами q_i и сопряжёнными импульсами p_i, где i=1,\dots,d. Тогда распределение в фазовом пространстве \rho(p,q) определяет вероятность \rho(p,q)\,d^dq\,d^dp, что частица будет найдена в малом объёме d^dq\,d^dp. Уравнение Лиувилля управляет эволюцией \rho(p,q;t) во времени t:

\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.

Производная по времени обозначается точками, и оценивается согласно уравнениям Гамильтона для системы. Это уравнение демонстрирует сохранение плотности в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Простое доказательство теоремы состоит в наблюденнии, что эволюция \rho определяется уравнением неразрывности:

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)=0.

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только следующими слагаемыми

\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right)=\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,

где H — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы, теорема означает, что конвективная производная плотности d \rho/dt равна нулю, что следует из уравнения непрерывности, замечая, что поле скоростей (\dot p , \dot q) в фазовом пространстве бездивергентно (это следует из гамильтоновых уравнений).

Другая иллюстрация состоит в том, чтобы рассмотреть траекторию множества точек в фазовом пространстве. Легко показать, что множество траекторий растягивается в одной координате, скажем — p_i — но сжимается по другой координате q_i так, что произведение \Delta p_i \Delta q_i остаётся константой.

Физическая интерпретация Править

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

N=\int d^dq\,d^dp\,\rho(p,q)

(Нормировочный множитель обычно включается в меру фазового пространства, но здесь опущен.) В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле сил \mathbf{F} с координатами \mathbf{x} и импульсами \mathbf{p}, теорему Лиувилля можно записать в виде

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0,

где \mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}} — скорость. В астрофизике это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц двигающихся в гравитационном потенциале.

В классической статистической механике число частиц N огромно, (обычно по порядку величины число Авогадро, в лабораторных условиях). Полагая, что \partial\rho/\partial t=0 даёт уравнение для стационарных состояний системы, можно найти плотность микросостояний доступных в данном статистическом ансамбле. Уравнение для стационарных состояний удовлетворяет выражению \rho равно любой функции гамильтониана H: в частности, распределению Максвелла-Больцмана \rho\propto e^{-H/kT}, где T — температура, k — постоянная Больцмана.

Смотрите также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.

Другие формулировки Править

Теорему часто формулируют в терминах скобок Пуассона:

\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}

или оператора Лиувилля,

\hat{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],

как

\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\hat{L}}\rho =0.

Другой способ формулировки теоремы Лиувилля заключается в том, чтобы сказать, что фазовый объём \Gamma сохраняется при сдвигах времени. Если

\int\limits_\Gamma d^dq\,d^dp = C,

и \Gamma(t) множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество \Gamma в момент времени t, тогда

\int\limits_{\Gamma(t)} d^dq\,d^dp = C,

для всех времён t. Объём фазового пространства сохраняется. Поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике каноническое преобразование, это может быть доказано если показать, что все канонические преобразования имеют якобиан единичный якобиан.

Замечания Править

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

\frac{\partial}{\partial t}\rho=-\frac{i}{\hbar}[\rho,H]
где ρ матрица плотности.
  • Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики. Обобщение на системы со столкновениями называется уравнением Больцмана.

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики