Фэндом

Виртуальная лаборатория

Теорема Нётер

204 619статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Теоре́ма Эмми Нётер утверждает, что каждой симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Так, закон сохранения энергии соответствует однородности времени, закон сохранения импульса — однородности пространства, закон сохранения момента импульса — изотропии пространства, закон сохранения электрического заряда — калибровочной симметрии и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Теорема установлена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и Э. Нётер. В наиболее распространенной формулировке была доказана Эмми Нётер в 1918 году.

Формулировка Править

Классическая механика Править

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов g^s(q_i), сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}

В терминах инфинитезимальных преобразований, пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)

и функция Лагранжа L(q,\; \dot q,\; t) инвариантна относительно этих преобразований, то есть

\frac{d}{ds}L(\vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t),\; \dot \vec q_0 + s \dot \vec \psi (\vec q,\; t),\; t) = 0

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

I = \left( \vec \psi (\vec q,\; t);\; \frac{\partial L}{\partial \dot \vec q} \right) = \sum^n_{i=1}\psi_i (\vec q,\; t) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}.

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра \tau, причем в процессе движения t=\tau. Тогда из преобразований

g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)
g^s(t) = t_0 + s \xi (\vec q,\; t)

следует первый интеграл

I = \xi L - \left( \vec \psi - \xi \dot \vec q;\; \frac{\partial L}{\partial \dot \vec q} \right)

Теория поля Править

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от n потенциалов, зависящих, в свою очередь, от k координат. Функционал действия будет иметь вид

S = \int L(A^i,\; \partial_j A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k.

Пусть однопараметрическая группа g^s диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа, тогда сохраняется вектор

J^\mu = \left( \frac{d}{ds} g^s A^i \right) \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A^i)},

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}. Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

\ \partial_\mu J^\mu = 0,

поэтому поток J через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток J через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Законы сохранения Править

В классической механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса выводятся из однородности/изотропности лагранжиана системы — лагранжиан (функция Лагранжа) не меняется со временем сам по себе и не изменяется переносом или поворотом системы в пространстве. По сути это означает то, что при рассмотрении некой замкнутой в лаборатории системы будут получены одни и те же результаты — вне зависимости от расположения лаборатории и времени проведения эксперимента. Другие симметрии лагранжиана системы, если они есть, соответствуют другим сохраняющимся в данной системе величинам (интегралам движения); например, симметрия лагранжиана гравитационной и кулоновской задачи двух тел приводит к сохранению не только энергии, импульса и момента импульса, но и вектора Лапласа — Рунге — Ленца.


Внешние ссылки Править

Литература Править

  • Арнольд В. И. «Математические методы классической механики», из. 5-ое, М.:Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
  • Ибрагимов «Группы преобразований в математической физике»





Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Теорема Нётер. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики