Фэндом


Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Формулировка Править

Пусть (X,\;\mathcal{F},\;\mu) — пространство с мерой и мера \mu \sigma-конечна. Тогда если мера \nu\colon\mathcal{F} \to \mathbb{R} абсолютно непрерывна относительно \mu (\nu \ll \mu), то существует измеримая функция f\colon X \to \mathbb{R}, такая что

\nu(A) = \int\limits_{A}\!f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F},

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия Править

Свойства Править

\frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda}.
  • Пусть \nu \ll \mu \ll \lambda. Тогда
 \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda} \lambda — почти всюду.
  • Пусть \mu \ll \lambda и g\colon X \to \mathbb{R} — измеримая функция, интегрируемая относительно меры \mu, то
 \int\limits_X\!g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X\!g(x)\,\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx).
  • Пусть \mu \ll \nu и \nu \ll \mu. Тогда
 \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.
 {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|.

Вариации и обобщения Править

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Теорема Радона — Никодима. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики