ФЭНДОМ


Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка Править

Пусть даны два пространства с σ-конечными мерами (X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2. Обозначим (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2) их произведение. Пусть функция f: X_1 \times X_2 \to \mathbb{R} интегрируема относительно меры \mu_1 \otimes \mu_2. Тогда

  • функция  x_1 \to \int\limits_{X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2) определена и интегрируема относительно \mu_1;
  • функция  x_2 \to \int\limits_{X_1} f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1) определена и интегрируема относительно \mu_2;
  • имеют место равенства
\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_1}\left[\;\int\limits_{X_2}f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2)\right] \mu_1(dx_1)

и

\iint\limits_{X_1 \times X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_1 \otimes \mu_2(dx_1\, dx_2) = \int\limits_{X_2}\left[\;\int\limits_{X_1}f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1)\right] \mu_2(dx_2).

Частные случаи Править

Теория вероятностей Править

Пусть (\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\,i=1,2 — вероятностные пространства, и X:\Omega_1 \times \Omega_2 \to \mathbb{R} — случайная величина на (\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2). Тогда

\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2}[X] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}[X]\right] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}[X]\right],

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ Править

Пусть f : D = [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R} функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике [a,b] \times [c,d], то есть f \in {R}(D). Тогда

\iint\limits_D f(x,y)\, dx\,dy = \int\limits_{a}^b \int\limits_c^d f(x,y)\, dy\,dx = \int\limits_{c}^d \int\limits_a^b f(x,y)\, dx\,dy,

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

См. также Править


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Теорема Тонелли — Фубини. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики