Фэндом


В квантовой механике, ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

ОпределениеПравить

Ток вероятности \vec j определяется как

\vec j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\vec\nabla\Psi)

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0

с плотностью вероятноти \rho, заданной

\rho = |\Psi|^2 \,.

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

\frac{\partial}{\partial t} \int\limits_V |\Psi|^2 dV + \int\limits_S \vec j \cdot \vec {dA} = 0

где V — объём и S − граница объёма V. Это — закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если \Psiволновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах V, когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема  V .

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в V равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из V.

Примеры Править

Плоская волна Править

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

\Psi = A e^{i\vec k \cdot \vec r} e^{i \omega t}

запишется в виде

\vec j = \frac{\hbar}{2mi} |A|^2 \left( e^{-i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{i\vec k \cdot \vec r} - e^{i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{-i\vec k \cdot \vec r} \right) = |A|^2 \frac{\hbar \vec k}{m}.

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:

\vec v = \frac{\vec p}{m} = \frac{\hbar \vec k}{m}.

Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно

\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0\,

везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если его пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящике Править

Для одномерного ящика с бесконечными стенками длинной L (0 < x < L), волновые функции запишутся в виде

\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right)

и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде

j_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0

поскольку \Psi_n = \Psi_n^*.

Вывод уравнения непрерывности Править

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что \Psi - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных x, y, и z). Тогда

P = \int\limits_V |\Psi|^2 dV \,

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде

\frac{dP}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int\limits_V |\Psi|^2 dV = \int\limits_V \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) dV

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма V не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестациолнарное уравнение Шрёдингера

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V\Psi

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от \Psi\,:

\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{i \hbar}{2m} \nabla^2 \Psi - \frac{i}{\hbar} V \Psi

Результат подстановки в предыдущее уравнение для \frac{dP}{dt} даёт

\frac{dP}{dt} = - \int\limits_V \frac{\hbar}{2mi}  \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right) dV.

Теперь после перехода к дивергенции

\nabla \cdot \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) = \vec \nabla \Psi^* \cdot \vec \nabla \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \vec \nabla \Psi \cdot \vec \nabla \Psi^* - \Psi \vec \nabla^2 \Psi^*

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

\frac{dP}{dt} = - \int\limits_V \vec \nabla \cdot \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) dV

Если теперь вспомним выражение для P и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть \vec j тогда запишем выражение

\int\limits_V \left( \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j \right) dV = 0

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов V, и интеграл можно опустить:

\frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ток вероятности. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики