где — объём и − граница объёма . Это — закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.
В частности, если — волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах , когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема .
В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из .
Примеры[]
Плоская волна[]
Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне
запишется в виде
Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:
.
Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно
везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если его пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.
Частица в ящике[]
Для одномерного ящика с бесконечными стенками длинной
(), волновые функции запишутся в виде
и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде
поскольку
Вывод уравнения непрерывности[]
В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.
Предположим что - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных , , и ). Тогда
определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде
где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестациолнарное уравнение Шрёдингера
и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от :
Результат подстановки в предыдущее уравнение для даёт
и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:
Если теперь вспомним выражение для и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть тогда запишем выражение
которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов, и интеграл можно опустить:
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ток вероятности. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .