Викия

Виртуальная лаборатория

Треугольная квантовая яма

206 551статья на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Треугольная потенциальная яма — это один из наиболее простых потенциалов в квантовой механике допускающих точное решение задачи о движении заряда в электрическом поле. Основная её особенность состоит в том, что она возникает вследствие тривиального обрезание бесконечного 3D-пространства 2D-плоскостью.

Рассмотрим потенциальную энергию U(x) представляемую в виде:

U(x) = \begin{cases} eEx, & x  \ge \; 0 \\ +\infty, & x < 0 \end{cases}

где x- координата 3D-пространства, вдоль которой проводится его обрезание плоскостью при x = 0, e- заряд электрона, E- напряжённость электрического поля, определяющая потенциальную энергию.

Равнение уравнения Шрёдингера в данном одномерном случае можно записать в виде:

\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar \;^2}(W - eEx)\psi = 0.

Для упрощения дальнейшего рассмотрения введём безразмерную переменную в виде:

\xi = (-x + \frac{W}{eE})(\frac{2meE}{\hbar \;^2})^{1/2}.

В результате, получим уравнение Шрёдингера, которое зависит от параметра энергии:

\psi''(\xi) + \xi \psi (\xi)= 0.

Решение данного уравнение есть

\psi(\xi) = A\Phi(-\xi),

где функции Эйри определённые следующим образом:

\Phi(\xi) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty} \cos {\frac{u^3}{3} + u\xi} \, du

При движении в неограниченном пространстве уже есть определённая постоянная интегрирования A:

A = \frac{(2m)^{1/2}}{\pi^{1/2}F^{1/6}\hbar \;^{2/3}}.

Основные отличия данной задачи состоит в том, что при x = 0 потенциальная энергия стремительно растёт, и мы должны для сшивания волновых функций использовать условие:

\psi(\xi_j) = 0,

где \xi_j — корни функции Эйри. Можно привести первые 5-ть значений этих корней: \xi_1 = 2,33810741, \xi_2 = 4,08794944, \xi_3 = 5,52055983, \xi_4 = 6,78670809, \xi_5 = 7,94413359.

В результате, мы получили дискретен спектр энергий для треугольной потенциальной ямы в виде:

W_j = \xi_j \big[\frac{eE\hbar \;}{\sqrt{2m}} \big]^{2/3}

Поскольку между потенциальной энергией и дискретным спектром справедливое следующее соотношение в узловых точках:

U(x_j) = eEx_j = W_j

поэтому можно обнаружить значение координаты x_j:

x_j = \xi_j \big(\frac{\hbar \;^2}{2meE} \big)^{1/3}

Широко распространился данная задача приобрела при исследованиях 2D-систем электронного газа инверсных слоёв поверхности раздела диэлектрик — полупроводник.

ЛитератураПравить

  • Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ.- М.:Мир, 1985.- 416с.
  • Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Изд. 2-е.- М.:ГосИздат,1963.- 703с.

Ссылка Править

[1]

См. такжеПравить


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Треугольная квантовая яма. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Викия-сеть

Случайная вики