ФЭНДОМ


Трёхдиагональной матрицей называют матрицу следующего вида:

A = \begin{pmatrix} C_1 & B_1 & 0   & 0   & \cdots & 0 & 0
                         \\ A_2 & C_2 & B_2 & 0   & \cdots & 0 & 0
                         \\ 0   & A_3 & C_3 & B_3 & \cdots & 0 & 0 
                         \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots 
                         \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots 
                         \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & B_{n-1}
                         \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & A_{n} & C_{n}
            \end{pmatrix}
  .

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математики и физики. Краевые условия x_1 и x_n, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода F(x=x_1)=F_1 определит перую строку в виде C_1=1, B_1=0, а условие второго рода dF/dx(x=x_1)=F_1 будет соответствовать значениям C_1=-1, B_1=1.

Метод прогонки Править

Для решения систем вида ~A*x=F или, что то же самое, ~A_{i}x_{i-1}+C_{i}x_{i}+B_{i}x_{i+1} = F_{i} (1) используется метод прогонки, основанный на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

x_i = \alpha_{i+1}x_{i+1} + \beta_{i+1}\,\!
       , где ~i=1,n-1                                     (2)

Используя это соотношение, выразим xi-1 и xi через xi+1 и подставим в уравнение (1):


   \left(A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i\right)x_{i+1} + A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0
  ,

где Fi — правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

\begin{matrix}
   A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i = 0\end{matrix}
\begin{matrix}
   A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0
  \end{matrix}

Отсюда следует:


   \alpha_{i+1} = {-B_i \over A_i\alpha_i + C_i}\,\!



   \beta_{i+1} = {F_i - A_i\beta_i \over A_i\alpha_i + C_i}
  \,\!

Из первого уравнения получим:


   \alpha_2 = {-B_1 \over C_1}
  \,\!.

   \beta_2 = {F_1 \over C_1}
  \,\!.

После нахождения прогоночных коэффициентов \alpha и \beta, используя уравнение (2), получим решение системы. При этом,


   x_n = {F_n-A_n\beta_n \over C_n+A_n\alpha_n} \,\!

Ссылки Править

Алгоритм метода прогонки
Костомаров Д.П., Фаворский А.П. "Вводные лекции по численным методам"



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Трёхдиагональная матрица. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики