ФЭНДОМ


Задача о туннелировании через дельтообразный барьер это стандартная проблема из задачников по квантовой механике. Задача состоит в решении одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака.

Решение Править

Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции \psi(x) записывается в виде

H\psi(x)=[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)]\psi(x)=E\psi(x),

где H - гамильтониан, \hbar - постоянная Планка, m - масса, E - энергия частицы и

V(x)=\frac{\lambda}{m}\delta(x)

дельтообразный потенциальный барьер с энергией \lambda >0. Позиция потенциала в начале системы координат взята для удобства последующих вычислений. Сдвиг ничего не поменяет в ответе.

Барьер делит пространство на две части (x<0, x>0). В обеих этих областях решение уравнения Шрёдингера представляет собой плоские волны и может быть записано в виде их суперпозиции

\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx}\quad x<0 ,
\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx}\quad x>0

где волновой вектор выражается из энергии как k=\sqrt{2m E}/\hbar . Индексы r/l при коэффициентах A и B обозначают направление волнового вектора. Эти коэффициенты могут быть найдены из условия на волновйю функцию при x=0:

\psi_L=\psi_R,
\frac{d\psi_L}{dx} = \frac{d\psi_R}{dx} - \frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R.

Второе из этих уравнений задаёт условие на разрыв производной при x=0 (см. Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера). Тогда граничные условия дают следующие уравнения связи для коэффициентов

A_r+A_l=B_r+B_l
ik(A_r-A_l-B_r+B_l)=-\frac{2\lambda}{\hbar^2}(B_r+B_l).

Коэффициенты прохождения и отражения Править

Здесь можно сравнить ситуацию с классическим случаем. в обоих случаях мы имеем свободную частицу, но в классическом случае частица с конечной энергией не может преодолеть бесконечный потенциальный барьер. Для дальнейшего решения квантовой задачи определим ситуацию следующим образом: частица на барьер падает слева (A_r). Она может отразиться (A_l) или пройти (B_r).

Для определения амплитуд прохождения и отражения положим A_r=1 (падающая частица), A_l=r (отражённая), B_l=0 (нет падающей частицы справа) и B_r=t (прохождение) и найдём решение для r, t. Результат:

t=\frac{1}{\frac{i\lambda}{\hbar^2k}+1}
r=\frac{1}{\frac{i\hbar^2 k}{\lambda}-1}.

Неожиданный результат с классической точки зрения, то что имееется ненулевая вероятность или ненулевой коэффициент прохождения) для бесконечно высококо барьера

T=|t|^2=\frac{1}{1+\frac{\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \frac{1}{1+\frac{\lambda^2}{2m\hbar^2 E}}

Этот эффект называется туннелированием.

В заключении приведём коэффициент отражения:

R=|r|^2=1-T=\frac{1}{1+\frac{\hbar^4k^2}{\lambda^2}}= \frac{1}{1+\frac{2m\hbar^2 E}{\lambda^2}}.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Туннелирование через дельтообразный потенциал. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики