ФЭНДОМ


Задача о прохождении через потенциальный барьер формулируется в связи с вопросом о вероятности туннелирования в квантовой механике и возникает повсеместно как первоначальное нулевое приближение поскольку имеет простое аналитическое решение.

Решение Править

Файл:PotentialBarrier.gif

Запишем волновую функцию для трёх областей в виде

\psi_1(x)=e^{ik_1x}+re^{-ik_1x} \,(x<0)
\psi_2(x)=Ae^{k_2x}+Be^{-k_2x}\,(0<x<a)
\psi_3(x)=te^{ik_1x}\,(a<x).

Здесь предполагается, что волновые вектора

k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}
k_2=\sqrt{\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}}.

Произведём сшивку волновых функций и их производных на границах и получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными

1+r=A+B
ik_1-irk_1=k_2A-k_2B
Ae^{k_2a}+Be^{-k_2a}=te^{ik_1a}
k_2Ae^{k_2a}-k_2Be^{-k_2a}=ik_1te^{ik_1a}.

Решая их

A\left(1-i\frac{k_2}{k_1}\right)+B\left(1+i\frac{k_2}{k_1}\right)=2
A=\frac{t}{2}e^{-k_2a}e^{ik_1a}\left(1+i\frac{k_1}{k_2}\right)
B=\frac{t}{2}e^{k_2a}e^{ik_1a}\left(1-i\frac{k_1}{k_2}\right)
te^{-k_2a}\left(1+i\frac{k_1}{k_2}\right)\left(1-i\frac{k_2}{k_1}\right)+te^{k_2a}\left(1-i\frac{k_1}{k_2}\right)\left(1+i\frac{k_2}{k_1}\right)=4e^{-ik_1a}
t=\frac{4e^{-ik_1a}}{e^{-k_2a}\left(2+i\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)\right)+e^{k_2a}\left(2-i\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)\right)}
t=\frac{4e^{-ik_1a}}{4\cosh{k_2a}+2i\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)\sinh{k_2a}}

найдём выражение для коэффициента прохождения

T=|t|^2=t=\frac{1}{\cosh^2{k_2a}+\frac{1}{4}\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)^2\sinh^2{k_2a}}=\frac{1}{1+\frac{(k_1^2+k_2^2)^2}{4k_1^2k_2^2}\sinh^2{k_2a}}.

Здесь также можно перейти к пределу дельтаобразного потенциала U(x)=g\delta(x), а именно рассмотреть предел бесконечно высокого и бесконечно узкого потенциала такого что произведение Va=g, где g - некая константа. В итоге получим

T=\frac{1}{1+g^2\frac{m}{2\hbar^2E}}.

В случае если энергия частицы выше барьера

k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}}

получим другой ответ

T=\frac{1}{1+\frac{(k_1^2-k_2^2)^2}{4k_1^2k_2^2}\sin^2{k_2a}}.

ЛитератураПравить

  • Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN ISBN 0-13-111892-7



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Туннелирование через прямоугольный барьер. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики