Задача о прохождении через потенциальный барьер формулируется в связи с вопросом о вероятности туннелирования в квантовой механике и возникает повсеместно как первоначальное нулевое приближение поскольку имеет простое аналитическое решение.
Решение [ ]
Файл:PotentialBarrier.gif Потенциальная энергия как функция координаты
Запишем волновую функцию для трёх областей в виде
ψ
1
(
x
)
=
e
i
k
1
x
+
r
e
−
i
k
1
x
(
x
<
0
)
{\displaystyle \psi_1(x)=e^{ik_1x}+re^{-ik_1x} \,(x<0) }
ψ
2
(
x
)
=
A
e
k
2
x
+
B
e
−
k
2
x
(
0
<
x
<
a
)
{\displaystyle \psi _{2}(x)=Ae^{k_{2}x}+Be^{-k_{2}x}\,(0<x<a)}
ψ
3
(
x
)
=
t
e
i
k
1
x
(
a
<
x
)
.
{\displaystyle \psi _{3}(x)=te^{ik_{1}x}\,(a<x).}
Здесь предполагается, что волновые вектора
k
1
=
2
m
E
ℏ
2
{\displaystyle k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}}
k
2
=
2
m
(
V
−
E
)
ℏ
2
.
{\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2m(V-E)}{\hbar ^{2}}}}.}
Произведём сшивку волновых функций и их производных на границах и получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными
1
+
r
=
A
+
B
{\displaystyle 1+r=A+B}
i
k
1
−
i
r
k
1
=
k
2
A
−
k
2
B
{\displaystyle ik_{1}-irk_{1}=k_{2}A-k_{2}B}
A
e
k
2
a
+
B
e
−
k
2
a
=
t
e
i
k
1
a
{\displaystyle Ae^{k_{2}a}+Be^{-k_{2}a}=te^{ik_{1}a}}
k
2
A
e
k
2
a
−
k
2
B
e
−
k
2
a
=
i
k
1
t
e
i
k
1
a
.
{\displaystyle k_{2}Ae^{k_{2}a}-k_{2}Be^{-k_{2}a}=ik_{1}te^{ik_{1}a}.}
Решая их
A
(
1
−
i
k
2
k
1
)
+
B
(
1
+
i
k
2
k
1
)
=
2
{\displaystyle A\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+B\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=2}
A
=
t
2
e
−
k
2
a
e
i
k
1
a
(
1
+
i
k
1
k
2
)
{\displaystyle A={\frac {t}{2}}e^{-k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)}
B
=
t
2
e
k
2
a
e
i
k
1
a
(
1
−
i
k
1
k
2
)
{\displaystyle B={\frac {t}{2}}e^{k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)}
t
e
−
k
2
a
(
1
+
i
k
1
k
2
)
(
1
−
i
k
2
k
1
)
+
t
e
k
2
a
(
1
−
i
k
1
k
2
)
(
1
+
i
k
2
k
1
)
=
4
e
−
i
k
1
a
{\displaystyle te^{-k_{2}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+te^{k_{2}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=4e^{-ik_{1}a}}
t
=
4
e
−
i
k
1
a
e
−
k
2
a
(
2
+
i
(
k
1
k
2
−
k
2
k
1
)
)
+
e
k
2
a
(
2
−
i
(
k
1
k
2
−
k
2
k
1
)
)
{\displaystyle t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{e^{-k_{2}a}\left(2+i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)+e^{k_{2}a}\left(2-i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)}}}
t
=
4
e
−
i
k
1
a
4
cosh
k
2
a
+
2
i
(
k
1
k
2
−
k
2
k
1
)
sinh
k
2
a
{\displaystyle t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{4\cosh {k_{2}a}+2i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\sinh {k_{2}a}}}}
найдём выражение для коэффициента прохождения
T
=
|
t
|
2
=
t
=
1
cosh
2
k
2
a
+
1
4
(
k
1
k
2
−
k
2
k
1
)
2
sinh
2
k
2
a
=
1
1
+
(
k
1
2
+
k
2
2
)
2
4
k
1
2
k
2
2
sinh
2
k
2
a
.
{\displaystyle T=|t|^{2}=t={\frac {1}{\cosh ^{2}{k_{2}a}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}.}
Здесь также можно перейти к пределу дельтаобразного потенциала
U
(
x
)
=
g
δ
(
x
)
{\displaystyle U(x)=g\delta (x)}
, а именно рассмотреть предел бесконечно высокого и бесконечно узкого потенциала такого что произведение
V
a
=
g
{\displaystyle Va=g}
, где g - некая константа. В итоге получим
T
=
1
1
+
g
2
m
2
ℏ
2
E
.
{\displaystyle T={\frac {1}{1+g^{2}{\frac {m}{2\hbar ^{2}E}}}}.}
В случае если энергия частицы выше барьера
k
2
=
2
m
(
E
−
V
)
ℏ
2
{\displaystyle k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}}}
получим другой ответ
T
=
1
1
+
(
k
1
2
−
k
2
2
)
2
4
k
1
2
k
2
2
sin
2
k
2
a
.
{\displaystyle T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sin ^{2}{k_{2}a}}}.}
Литература [ ]
Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN ISBN 0-13-111892-7
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке . Оригинальная статья находится по адресу: Туннелирование через прямоугольный барьер . Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок . Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .