ФЭНДОМ



Постановка задачи устойчивости динамических систем Править

Пусть \Omega — область пространства \mathbb{R}^n, содержащая начало координат, ~I = [\tau; \infty], где ~\tau \in \mathbb{R}^n. Рассмотрим систему (1) вида:

\dot x = f(t, x), x \in \mathbb{R}^n, f: I \times \Omega \to \mathbb{R}^n, f(t, 0) = 0

При любых ~(t_0, x_0) \in I \times \Omega существует единственное решение x(t, t0, x0) системы (1), удовлетворящее начальным условиям x(t0, t0, x0) = x0. Будем предполагать, что решение x(t, t0, x0) определено на интервале ~J^+ = [t_0; \infty), причём ~J^+ \subset I.

Устойчивость по Ляпунову Править

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых t_0 \in I и \epsilon > 0 существует \delta > 0, зависящее только от ε и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого x0, для которого \|x_0\| < \delta, решение x системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t > t0 и удовлетворяет неравенству \|x(t)\| < \epsilon.

Символически это записывается так:

(\forall \epsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \epsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \epsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \epsilon)

Равномерная устойчивость по Ляпунову Править

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:

(\forall \epsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(\epsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(\epsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \epsilon)

Неустойчивость по Ляпунову Править

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:

(\exists \epsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \epsilon)

Асимптотическая устойчивость Править

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие \lim_{t \to \infty} \|x(t_*, t_0, x_0)\| = 0 для всякого x с начальным условием x0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.

Эквиасимптотическая устойчивость Править

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость Править

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.

Асимптотическая устойчивость в целом Править

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость в целом Править

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Устойчивость динамических систем. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики