Фэндом


Физический маятник — твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс этого тела.

ОпределенияПравить

  • \theta\, - угол отклонения маятника от равновесия;
  • \alpha\, - начальный угол отклонения маятника;
  • m\, - масса маятника;
  • h\, - расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
  • r\, - радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
  • g\, - ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

I = m\left(r^2+h^2\right).

Дифференциальное уравнение движения физического маятникаПравить

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение качания физического маятника записывается следующим образом:

I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgh\sin\theta.

Полагая \frac{r^2}{h} + h = l, предыдущее уравнение можно переписать в виде:

l\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g\sin\theta.

Величина l\, называется приведенной длиной.

Центр качания физического маятника Править

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящий от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии l\, от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен I = ml^2\,, а момент силы тяжести относительно той же оси -mgl\sin\theta\,. Легко заметить, что уравнение движения не изменится.

Теорема ГюйгенсаПравить

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

ДоказательствоПравить

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

l_1 = \frac{r^2}{r^2/h} + \frac{r^2}{h} = h + \frac{r^2}{h} = l.

Период колебаний физического маятника Править

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания. Для этого умножим левую часть этого уравнения на \frac{d^2\theta}{dt^2}dt = d\left(\frac{d\theta}{dt}\right), а правую часть на d\theta\,. Тогда:

l\frac{d\theta}{dt}d\left(\frac{d\theta}{dt}\right) = -g\sin\theta\, d\theta.

Интегрируя это уравнение, получаем.

l\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = 2g\cos\theta+C,

где C\, произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты \theta = \pm \alpha\,\,\,, \frac{d\theta}{dt} = 0. Получаем: C = -2g\cos\alpha\,. Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

\frac{d\theta}{dt} = 2\sqrt{\frac{g}{l}}\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}.

Отделяем переменные и интегрируем это уравнеие:

\sqrt{\frac{g}{l}}t = \int\limits_0^\theta{\frac{d\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}}}.

Удобно сделать замену переменной, полагая \sin\frac{\theta}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}\sin\varphi. Тогда искомое уравнение принимает вид:

t = \sqrt\frac{l}{g}\int\limits_0^\varphi{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = \sqrt\frac{l}{g} F\left(\varphi\setminus \alpha/2\right).

Здесь  F\left(\varphi\setminus \alpha\right)нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:


T = 4\sqrt\frac{l}{g}\,\int\limits_0^{\pi/2}{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = 4\sqrt\frac{l}{g}\,K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right).


Здесь K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right) - полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

Период малых колебаний физического маятникаПравить

Если амп\alpha\, мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

T = 2\pi\sqrt\frac{l}{g} = 2\pi\sqrt\frac{I}{mgh}.

Отсюда видно, что физический маятник колеблется так же, как математический маятник с приведенной длиной.

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Физический маятник. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики