Фэндом

Виртуальная лаборатория

Фрактал

204 622статьи на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться
Фракт.jpg
250px-Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg

Множество Мандельброта — классический образец фрактала

Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Fractal Broccoli.jpg

Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora)

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

  • Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
  • Является самоподобной или приближённо самоподобной.
  • Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История Править

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Примеры Править

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике Править

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых Править

Файл:Fractal koch.png

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:


Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений Править

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть \psi_i,\,i=1,\dots,nсжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: \Psi\colon K\mapsto \cup_{i=1}^n\psi_i(K)

Можно показать, что отображение \Psi является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения \psi_i,\,i=1,\dots,n — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n=3 и отображения \psi_1, \psi_2, \psi_3гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении \Psi.

В случае, когда отображения \psi_i — преобразования подобия с коэффициентами r_i>0, размерность s фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s=1. Так, для треугольника Серпинского получаем s=\ln3/\ln2.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения \Psi, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике Править

Fractal julia.png

Множество Жюлиа́

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z) — многочлен, z_0комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:

 z_0,

z_1=F(z_0),

z_2=F(z_1),

z_3=F(z_2),

\dots.

Нас интересует поведение этой последовательности при n\rightarrow\infty. Эта последовательность может:

  • Стремиться к бесконечности;
  • Стремиться к конечному пределу;
  • Демонстрировать в пределе циклическое поведение, то есть поведение вида \dots w_1, w_2, w_3, w_1, w_2, w_3,\dots
  • Демонстрировать более сложное поведение.

Множества значений z_0, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа на картинке справа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z^2+c, то есть тех значений z_0, для которых поведение последовательности z_n может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z_0.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность z_n демонстрирует определённое поведение при фиксированном z_0. Так, множество Мандельброта — это множество всех c\in\mathbb{C}, при которых z_n для F(z)=z^2+c и z_0=0 не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления z_n к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором |z_n| превысит фиксированную большую величину A).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы Править

Fractal random.png

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

  • траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
  • граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
  • эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
  • различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, заключающиеся в получении изображения случайного фрактала.


Применение фракталов Править

Компьютерная графика Править

Fractal tree.png

Фрактальное дерево

Julia set (highres 01).jpg

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

Анализ рынков Править

Последнее время Фракталы стали популярны у «трейдеров» для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.

Физика и другие естественные науки Править

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Литература Править

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

  • неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
  • неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

  • венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
  • «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе»)
  • предисловия, скрывающие авторство (У.Эко «Имя розы»)
  • Т.Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём).

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:

  • Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
  • Х.Кортасар «Жёлтый цветок»
  • Ж.Перек «Кунсткамера»

Фрактальные антенны Править

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И, хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Сжатие изображений Править

Fractal tree (Plate b - 3).jpg

Ещё одно фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо изображения можно хранить отображение сжатия, для которого это изображение является неподвижной точкой.

Децентрализованные сети Править

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Young star )fractaldancer(.jpg

Галерея Править

См. также Править

Ссылки Править

Программы для генерации фрактальных изображений Править

  • Incendia — фрактальный генератор в полноценной 3D графике (Donationware);
  • Ultra Fractal — пожалуй, самая мощная программа, предназначенная для создания и анимации изображений по фрактальному алгоритму;
  • Fractal Explorer — одна из лучших на сегодняшний день программ для создания изображений фракталов;
  • IFS Builder 3d — построение и анимация трехмерных IFS фракталов (Windows, Linux);
  • XaoS — многоплатформенный генератор фракталов, позволяет приближать и удалять картинку в реальном времени;
  • Fractint — очень мощная многоплатформенная программа, развитие которой, к сожалению, давно остановилось;
  • Chaoscope — программа трёхмерной визуализации странных аттракторов;
  • Apophysis — программа для создания fractal flames. Fractal flames является расширением IFS фракталов;
  • RPS/Fract — несложный бесплатный генератор фракталов для платформы Pocket PC (PDA);
  • P.Fract — несложный бесплатный генератор фракталов для платформы Palm (PDA);
  • EyeFract
  • Gnofract 4D
  • IFS Illusions — Искусственное искусство программа и галереи
  • Sterling2
  • IFS Engine - несложный генератор IFS-фракталов (с исходным кодом).

Сайты о фракталах Править

Литература Править






Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Фрактал. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики