Фэндом


Последовательность точек (x_n)_{n=1}^\infty метрического пространства с метрикой \rho называется фундаментальной (\rho-фундаментальной) или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши:

Для любого \varepsilon > 0 существует такое натуральное N_\varepsilon, что

\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\ для всех  n, m > N_\varepsilon.

Связанные определения Править

  • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится.
  • Для любого метрического пространства X=(X,\rho), на множестве фундаментальных последовательностей в X можно ввести отношение эквивалентности
        (x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.
    Множество классов эквивалентности \bar X с метрикой, определённой
        \bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),
    является метрическим пространством, называемым пополнением X. Само пространство (X,\rho) изометрически вкладывается в своё пополнение (\bar X,\bar \rho), точке x\in X соответсвует постоянная последователность x_n=x.

Свойства Править

  • Любая сходящаяся последовательность является фундаментальной (условие Коши).

Эквивалентность в полном пространстве Править

Множество вещественных чисел \mathbb{R} (или вообще пространство \mathbb{R}) является полным, поэтому в нём условия сходимости и фундаментальности последовательности эквивалентны.

Фундаментальная последовательность сходится Править

Пусть некая последовательность (x_n) удовлетворяет критерию Коши. Тогда она, очевидно, ограничена. Следовательно, по теореме Больцано — Вейерштрасса у неё существует предельная точка. Чтобы доказать существование (конечного) предела, необходимо доказать единственность предельной точки. Пусть их существует две — a_1 и a_2. Тогда возьмём \varepsilon = \frac{1}{3} |a_1-a_2|. Начиная с некоторого n, все элементы последовательности должны будут находиться в одной из \varepsilon-окрестностей предельных точек (каждая точка при n>N будет находиться либо в одной, либо в другой окрестности), а значит, на расстоянии больше чем \varepsilon друг от друга, что противоречит критерию Коши.

Сходящаяся последовательность фундаментальна (условие Коши) Править

Пусть теперь, наоборот, последовательность сходится. Тогда, начиная с некоторого N, |x_n-a| < \varepsilon и |x_m-a| < \varepsilon, а стало быть, |x_m - x_n| = |(x_m - a) - (x_n - a)|\leqslant |(x_m - a)| + |(x_n - a)| < 2\varepsilon, а значит, последовательность по определению фундаментальна.


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Фундаментальная последовательность. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики