ФЭНДОМ


В функциональном анализе, функционал Минковского использует линейную структуру пространства для введения топологии на нем.

Определение Править

Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества K определим функционал Минковского

\ \mu_K:X \rightarrow [0, \infty)

как

\mu_K (x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\}.

Предполагается, что 0 ∈ K и множество {r > 0: xr K} непусто. При дополнительных условиях на K функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:

  • Из выпуклости и симметричности K следует субаддитивность \mu_K, т.е.
    \ \mu_K (\alpha x + \beta y) \le \alpha \mu_K (x) + \beta \mu_K (y)
  • Однородность (μK(α x) = |α| μK(x) для всех α) достигается, если K - сбалансироанное множество, т.е. α KK для всех |α| ≤ 1.

Свойства Править

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств K, содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в X и X*, так как обладает свойствами опорной функции в сопряженном пространстве. Пусть X - конечномерное евклидово пространство. Для любого множества K из X определим сопряженное множество K* из X* как множество, опорная функция s(p,K*) которого на векторах p из X совпадает с pK:

\forall p \in X ~s(p,K^*)=\mu_K(p)

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного K

\ K^{* *} = K

Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство X** содержит элементы, не лежащие в X. Можно доопределить опорную функцию на K*, положив ее для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении X в X** образ K совпадает с K** (при выпуклости и сбалансированности).

Ссылки Править

Другие проявления двойственности Минковского:

Литература Править

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Функционал Минковского. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики