ФЭНДОМ


Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы. Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами  q_{i} и импульсами  p_{i} ее частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин q \equiv \left\{ q_{i}  \right\} и p \equiv \left\{ p_{i}  \right\} образуют фазовое пространство. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства dqdp\equiv\prod\limits_{i}dq_{i}dp_{i} (с точкой q, p внутри) дается формулой:

d\omega=\rho \left(q,p\right)dqdp \qquad (1)

Функцию \rho \left(q,p\right) называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет из себя плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция \rho \left(q,p\right) удовлетворяет условию нормировки

 \int {dqdp\rho \left(q,p\right)}=1, \qquad (2)

причем интеграл берется по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определенном микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными  {q}^{(0)} \equiv \left\{{q_i}^{(0)}\right\} и  {p}^{(0)} \equiv \left\{{p_i}^{(0)}\right\}, и тогда

\rho \left(q,p\right)=\delta\left(q-q^{(0)}\right)\delta\left(p-p^{(0)}\right),

где \delta\left(q-q^{(0)}\right)\delta\left(p-p^{(0)}\right)\equiv \prod\limits_{i}\delta\left(q_i-{q_i}^{(0)}\right)\delta\left(p_i-{p_i}^{(0)}\right) (δ - функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция  \rho \left(q,p\right) позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины  F \left(q,p\right) – функции фазовых переменных q и p:

 \left\langle\hat{F}\right\rangle=\int {dqdp\hat{F}\hat{\rho}},

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка – статистическое усреднение. Разобьем систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом ее частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

 \rho \left(q,p\right)=\prod\limits_{n}\rho^{(n)}\left(q^{(n)},p^{(n)}\right)\qquad (3)

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций \rho^{(n)}\left(q^{(n)},p^{(n)}\right) можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция \rho . Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр – радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения \rho \left(q,p\right) равносильно заданию бесконечного числа независимых величин – ее значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ N_A, где N_Aчисло Авогадро). В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин \hat{A}\equiv\left\{\hat{A}_m\right\}. Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей \rho \left(A\right) значений A дается равенством

 \rho\left(A\right)=\int {dqdp\delta\left(A-\hat{A}\right)\rho\left(q,p\right)},

где \delta\left(A-\hat{A}\right)\equiv \prod\limits_{m}\delta\left(A_m-\hat{A}_m\right). Функция распределения  \rho\left(A\right) может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин \hat{f}\equiv f\left(\hat{A}\right) , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через \hat{A} . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

 \left\langle\hat{f}\right\rangle=\int {dAf\left(A\right)\rho\left(A\right)},

где dA\equiv\prod\limits_{m}dA_m и интегрирование ведется по всем возможным значениям A. Конечно, средние значения \left\langle\hat{f}\right\rangle величин \hat{f} можно было бы найти с помощью полной функции распределения \rho \left(q,p\right), если бы она была известна. Для функции \rho\left(A\right) так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

\int{dA\rho\left(A\right)}=1

Описание системы с помощью функции \rho\left(A\right) называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля

\frac {\partial\hat{\rho}\left(t\right)}{\partial t}+iL_t\hat{\rho}\left(t\right)=0,\qquad (4)

где L_t\equiv-i\left\{\hat{H}_t,\quad\right\}\equiv-i\sum\limits_{j}\left(\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial p_j}\frac{\partial}{\partial q_j}-\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial q_j}\frac{\partial}{\partial p_j}\right)оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций, \hat{H}_tфункция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени (L_t=L), решение уравнения (4) имеет вид

\hat{\rho}\left(t\right)=e^{-itL}\hat{\rho}\left(0\right)\qquad (5)

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции \hat{\psi}^{(n)} и собственные значения L^{(n)} оператора L. Пользуясь полнотой и ортонормированностью \hat{\psi}^{(n)}, напишем \hat{\rho}\left(0\right)=\sum\limits_{n}c_n\hat{\psi}^{(n)}, где c_n=\left(\hat{\psi}^{(n)},\hat{\rho}\left(0\right)\right) (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

\hat{\rho}\left(t\right)=\sum\limits_{n}e^{-itL^{(n)}}c_n\hat{\psi}^{(n)}

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики