ФЭНДОМ



В данной статье приведено определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

В математике функция или отображе́ние — это упорядоченная тройка множеств F = (f, X, Y), обладающая следующими свойствами:

  • f \subseteq X \times Y
  • \forall (x, y) \in f, \forall (x', y') \in f , x = x' \rightarrow y = y'

Общепринятые обозначения:

  • F:\ X \to Y или X\to^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} Y для отображения F множества X в множество Y.
  • y=F(x) или F:x \mapsto y или x \mapsto^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} y.

Множество X называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(f), или D(y), или dom f.).

Множество Y называется о́бластью значе́ний отображения F.(обозначается E(f), или E(y), или cod f).

Интуитивное определение Править

Пусть X и Y — два множества. Закон f, согласно которому каждому элементу x \in X поставлен в соответствие единственный элемент y \in Y, называется отображением множества X в множество Y или функцией, заданной на X со значениями в Y.

Связанные определения Править

  • Пусть дано отображение F:X \to Y, и M \subset X. Тогда суже́нием функции F на M называется функция \left.F\right\vert_{M}:M \to Y, определяемая равенством
    \left.F\right\vert_{M}(x) = F(x),\; \forall x\in M.
Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.
  • Пусть M \subset X. Тогда о́бразом множества M называется подмножество Y, определяемое равенством
    F(M) = \{ F(x) \mid x \in M \}.
Множество \ F(X) называется образом отображения \ F и обозначается \operatorname{Im}\,F.
  • Пусть задано отображение F:X \to Y, x\in X, \;y\in Y и y = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент x\in X должен иметь ровно один образ, но элемент y\in Y может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
    • Например, пусть дана функция F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, где F(x) = x^2. Тогда
      y = -1 не имеет прообразов;
      y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;
      y = 1 имеет два прообраза: x_1 = 1 и x_2 = -1.
  • Пусть задано отображение F:X \to Y, и y \in Y. Тогда множество \{x\in X \mid F(x) = y\} \subset X называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F^{-1}(y).
    • Например, пусть F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, и F(x) = \sin x. Тогда
      F^{-1}(1) = \left\{{\pi \over 2}+2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}.
  • Пусть N \subset Y. Тогда проо́бразом множества N называется подмножество X, определяемое равенством
    F^{-1}(N) = \{ x \in X \mid F(x) \in N \}.
    • Например, пусть F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и F(x) = \cos x. Тогда
      F\left(\left[0, {\pi \over 2}\right]\right) = [0, 1],
      F^{-1}([0,1]) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+ 2\pi n\right].

Свойства Править

Свойства прообразов и образов Править

  • F^{-1}(A \cup B) = F^{-1}(A) \cup F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y;
  • F^{-1}(A \cap B) = F^{-1}(A) \cap F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y;
  • F(A \cup B) = F(A) \cup F(B),\; \forall A,B \subset X;
  • F(A \cap B) \subset F(A) \cap F(B), \; \forall A,B \subset X. Заметим отсутствие равенства в этом случае.

Классы функций Править

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств X и Y. Если X и Y — числовые множества, такие, как \mathbb{R} или \mathbb{C}, то отображение называют функцией. Если X или Y многомерны, например, \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n, то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X — произвольной природы, а Y — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Функции нескольких аргументов Править

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества X_{1},X_{2},\ldots,X_n и множество Y, тогда упорядоченное множество всех кортежей f=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},y)\right\} называется функцией n аргументов тогда и только тогда, когда для любых (x_{1}',x_{2}',\ldots,x_{n}',y')\in f и (x_{1}'',x_{2}'',\ldots,x_{n}'',y'')\in f из y'\neq y'' следует, что x_{n}' \neq x_{n}',\forall x\in [1,n]\cap\mathbb{Z}[1].

Примечания Править

  1. Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1. М.: Высшая школа,1981. с. 8.

См. также Править

Литература Править

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Функция (математика). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики