ФЭНДОМ


Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению

C=\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}d\mathbf{l}}=\oint\limits_{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz}

где \mathbf{F}=\{F_{x},F_{y},F_{z}\} — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, d\mathbf{l}=\{dx,dy,dz\} — бесконечно малое приращение радиус-вектора \mathbf{l} вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру.

  • Определение приведено для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Свойства циркуляции Править

Файл:Circulation-additivity.svg

Аддитивность

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

C=\sum\limits_{i}{C_{i}}


Формула Стокса

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора \operatorname{rot}\mathbf{F} через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}d\mathbf{l}=\iint\limits_{S}{\operatorname{rot}}}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS

где

\operatorname{rot}\mathbf{F}=[\nabla ,\mathbf{F}]=\left| \begin{matrix}
   \mathbf{e}_{x} & \mathbf{e}_{y} & \mathbf{e}_{z}  \\
   \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}  \\
   F_{x} & F_{y} & F_{z}  \\
\end{matrix} \right| — Ротор (вихрь) вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива формула Грина

\oint\limits_{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy}=\iint\limits_{\operatorname{int}\Gamma }{\left( \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} \right)dxdy}

где \operatorname{int}\Gamma  — плоскость, ограничиваемая контуром (внутренность контура).

Физическая интерпретация Править

Файл:Циркуляция.jpg

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

\forall \Gamma \subset D:\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}(\mathbf{r})d\mathbf{l}}=0\Leftrightarrow \forall \mathbf{r}\in D:\operatorname{rot}\mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{0}

Историческая справка Править

Термин «циркуляция» был первоначально введен в гидродинамике для расчета движения жидкости по замкнутому каналу. Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Выберем произвольный контур Γ. Мысленно представим, что мы (мгновенно) заморозили всю жидкость в объеме, за исключением тонкого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Γ. Тогда, в зависимости от первоначального характера течения жидкости, она будет либо неподвижной в канале, либо двигаться вдоль контура (циркулировать). В качестве характеристики такого движения берут величину равную произведению средней скорости движения жидкости по каналу u на длину контура l.

C = ul,

поскольку именно скорость u установится в этом случае в итоге всюду в канале, а величина циркуляции C даст (обобщённый) импульс для жидкости единичной плотности, сопряженный (обобщенной) координате, характеризующей положение жидкости как целого в канале, соответствующей, несколько упрощая, положению одиночной «пылинки» в жидкости, измеренному по линейке, изгибающейся вдоль канала.

Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена (вообразим, что это происходит перед тем, как тангенциальная скорость в канале всюду становится одинаковой вследствие несжимаемости жидкости), жидкость по каналу будет сразу после затвердевания двигаться с тангенциальной составляющей исходной скорости v_{\tau }. Тогда циркуляцию можно представить в виде

C=\oint\limits_{\Gamma }{v_{\tau }dl}=\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{v}d\mathbf{l}}

где dl — элемент длины контура.

Позже понятие «циркуляция» было распространено на любые векторные поля, даже такие, в которых «циркулировать» в буквальном смысле нечему.

Литература Править

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: «Наука», 1960.
  • Савельев И. В. Курс общей физики. Т2. М.: Астрель • АСТ, 2004.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Циркуляция векторного поля. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики