Сепарабельное состояние

Сепарабельность (от лат. separo - отделять) - это возможность разделения объекта на отдельные составные части с сохранением их свойств. Это отделимость частей составной системы в качестве самостоятельных и полностью независимых объектов. Такая полная отделимость означает, что, например, для системы, состоящей из двух частей А и В, действия, выполненные над подсистемой А, не изменяют свойства подсистемы В.

Сепарабельное состояние (чистое состояние) - квантовое состояние, которое может быть описано одной волновой функцией (вектором состояния, волновым вектором).

Описание

Абсолютная пустота определяет первоначальное сепарабельное состояние, дающее возможность сохраниться основному свойству во всех последующих соединениях, или – это та самая единственная возможность, где разделение объекта на любые отдельные составные части, всегда сохраняет их свойство. vk. com / tviss (теория пустоты) Абсолютная пустота есть там, где ничего нет, это означает, что сепарабельное состояние в свойстве различия величин минимума от максимума присутствует абсолютно во всём и везде. Основное свойство абсолютной пустоты – заключается в противоположном различии пространственного минимума от пространственного максимума, что определяет абсолютное свойство само изменения, сохраняющееся во всех последовательных изменениях, это свойство изменения в величине от микро к макро, которое находится в абсолютной основе всех последующих пространственных изменений. Абсолютная пустота имеет свойство, определяющее все последующие особенности. Всегда и во всём есть сепарабельное состояние - в различии микро от макро, что на практике указывает на абсолютную истину в том, что абсолютно всё имеет внутреннее устройство, или любое материальное тело, во внешнем определении имеет внутреннее устройство. Единственное не сепарабельное состояние может иметь – время, в различии прошлого от будущего определяя реальность, что даёт возможность на общее изменение, в разнообразии последовательности, сохранения свойств.

Определение этому понятию, в его современной формулировке, было предложено относительно недавно в 1989 г. Вернером , и лишь к концу прошлого века это определение было достаточно подробно проанализировано, осмыслено и окончательно утвердилось в научной среде. Сейчас ученые решают задачи, и на одном из первых мест здесь стоит изучение несепарабельных состояний, но чтобы подойти к ним, необходимо хорошо представлять, что такое сепарабельные состояния. Это понятие разделяет классическую физику от квантовой, и именно с несепарабельных состояний начинается настоящая квантовая физика.

Понятия сепарабельности и несепарабельности – одни из самых фундаментальных в физике. Классическая физика не акцентирует на этом внимание, поскольку она по умолчанию имеет дело только с сепарабельными состояниями. Несепарабельности для нее не существует «по определению», она ее не учитывает и исключает из рассмотрения. Сепарабельность для классической физики, как бы сама собой разумеется, иного она не знает, это ее основа и предел, ограничивающий сферу применения ее законов. Все привычные для нас естественнонаучные представления об окружающей реальности, вся классическая физика, все её законы, известные к настоящему времени, описывающие материальный мир (вещество и физические поля) – всё это очень ограниченное описание реальности исключительно в рамках сепарабельных состояний, когда более широкий, и более богатый по своим физическим проявлениям, класс несепарабельных состояний не принимается во внимание.

Квантовая физика тоже достаточно долгое время ограничивалась описанием сепарабельных состояний. Лишь в последнее десятилетие на первый план вышли именно несепарабельные состояния*. Ученые обратили самое пристальное внимание на их необычные, прямо-таки «сверхъестественные» возможности, которые являются очень перспективными в плане практического применения. Началось детальное изучение несепарабельности ( квантовой запутанности) в научных лабораториях. Сейчас уже эти исследования дают практическую отдачу, и квантовая запутанность находит все более широкое применение в технических устройствах в качестве основного рабочего ресурса.

Математическая формализация

На языке математики в квантовой механике это определение формализуется следующим образом. Если есть двухсоставная система, описываемая единым вектором состояния $\psi_{AB}$, и этот вектор состояния можно представить в виде прямого тензорного произведения (в отличие от обычного произведения матриц (строка на столбец), при тензорном умножении каждый элемент первой матрицы умножается на всю вторую матрицу. Это же относится к векторам как частному случаю матриц) векторов состояния отдельных подсистем $\psi_A$ и $\psi_B$, т.е. если имеет место равенство

$\psi_{AB} = \psi_A \otimes \psi_B$

то это состояние называется сепарабельным (чистым).

Для многосоставной системы, находящейся в чистом состоянии и состоящей из N подсистем, можно дать определение полной сепарабельности:

$\psi = \psi_1 \otimes \psi_2 \otimes ... \otimes \psi_N$

Знак тензорного произведения в этих выражениях свидетельствует о том, что подсистемы полностью независимы друг от друга в выбранном представлении вектора состояния с соответствующими наблюдаемыми величинами. Сразу можно отметить, что такое разложение вектора состояния на прямое произведение возможно далеко не всегда, и если этого не удается сделать, то такое состояние называется несепарабельным (смешанным, запутанными).

Очевидно, что мы можем описать систему одним вектором состояния только в том случае, если она замкнута, изолирована. Замкнутость — необходимое условие для чистого состояния. В противном случае система будет взаимодействовать с окружением и не может быть полностью описана одним лишь вектором состояния — придется учитывать волновые векторы окружения. Замкнутость — это также и достаточное условие для чистого состояния, поскольку вся информация, необходимая для полного описания системы, находится в ней самой, и ее достаточно для принципиальной возможности записать вектор состояния всей системы.

Примеры сепарабельных состояний

Cепарабельноcть независимых подсистем

Самый простой пример сепарабельного состояния – двухкубитная система, когда каждый из кубитов находится в своем независимом и строго определенном (локальном) состоянии, например кубит А направлен «спин-вверх», а второй кубит В – «спин-вниз». В дираковских обозначениях такое двухкубитное состояние записывается

$| \psi_{AB} \mathcal {i} = |0\mathcal {i}_A \otimes |1 \mathcal {i} _B \equiv |01 \mathcal {i}$

или что тоже самое

$| \psi_{AB} \mathcal {i} = a |0\mathcal {i} + b |1 \mathcal {i} \equiv |01 \mathcal {i}$

где а и b — комплексные числа, которые могут принимать любые значения, удовлетворяющие условию нормировки $|a|^2 + |b|^2 = 1$. Можно сказать, что кубит с вероятностью $|a|^2$ находится в состоянии |0> и с вероятностью $|b|^2$ — в состоянии |1>. Это обобщение классического бита, который является предельным случаем кубита при $|a|^2$ = 1, либо $|b|^2$ = 1.

Сепарабельность в когерентной суперпозиции всех подсистем

Сепарабельность может иметь место и для суперпозиции состояний, так, состояние $| \psi_{AB} \mathcal {i} = \sqrt {1/2} ( |00\mathcal {i} + |10 \mathcal {i} )$, если воспользоваться свойствами тензорного умножения, может быть представлено в форме:

$| \psi_{AB} \mathcal {i} = \sqrt {1/2} ( |0\mathcal {i}_A \otimes |0 \mathcal {i} _B + |1\mathcal {i}_A \otimes |0 \mathcal {i} _B ) = \sqrt {1/2} ( |0\mathcal {i}_A + |1 \mathcal {i} _A ) \otimes |0 \mathcal {i} _B = | \psi_{A} \mathcal {i} \otimes | \psi_{B} \mathcal {i}$

где $\psi_{A} \mathcal {i} = \sqrt {1/2} ( |0\mathcal {i} + |1 \mathcal {i} )$ – нелокальное суперпозиционное состояние первого кубита, и $\psi_{B} \mathcal {i} = |0 \mathcal {i}$ – локальное («спин-вверх») состояние второго кубита.

В то же самое время другое, похожее на него, суперпозиционное состояние $| \psi_{AB} \mathcal {i} = \sqrt {1/2} ( |00\mathcal {i} + |11 \mathcal {i} )$, так называемое cat-состояние (шрёдингеровского кота), не может быть записано в виде подобном виде . Это несепарабельное состояние, т.к. суперпозиция здесь не когерентная.

(Здесь можно увидеть аналогию с пролемой XOR - в однослойном перцептроне )

Сепарабельность равновесного состояния

Равновесное состояния - это когда в векторе состояния присутствуют все возможные базисные состояния с равными весами. Для двухкубитной системы это

$| \psi_{AB} \mathcal {i} = 1/2 |00\mathcal {i} + 1/2 |01\mathcal {i} + 1/2 |10\mathcal {i} + 1/2 |11\mathcal {i}$

Значения равновесных амплитуд (в данном случае 1/2) определяются из условия нормировки – квадраты всех амплитуд в сумме должны давать единицу. Это состояние тоже является сепарабельным, поскольку оно может быть представлено в виде

$| \psi_{AB} \mathcal {i} = \sqrt {1/2} ( |0\mathcal {i}_A + |1 \mathcal {i} _A ) \otimes \sqrt {1/2} ( |0\mathcal {i}_B + |1 \mathcal {i} _B ) \mathcal {i}$

Его отличительная особенность в том, что каждая из подсистем в этом случае находится в нелокальном суперпозиционном состоянии $| \psi \mathcal {i} = \sqrt {1/2} ( |0\mathcal {i} + |1 \mathcal {i} )$ .

Аналогичное разложение будет иметь место для равновесного состояния систем, состоящих из произвольного числа подсистем:

$| \psi_{AB..N} \mathcal {i} = \sqrt {1/2} ( |0\mathcal {i}_A + |1 \mathcal {i} _A ) \otimes \sqrt {1/2} ( |0\mathcal {i}_B + |1 \mathcal {i} _B ) \otimes ... \otimes \sqrt {1/2} ( |0\mathcal {i}_N + |1 \mathcal {i} _N ) \mathcal {i}$

Литература

• www.quantmagic.narod.ru/volumes/VOL442007/p4124.html С.И. Доронин Квантовая Магия, том 4, вып. 4, стр. 4124-4133, 2007

• Ю.М. Белоусов, В.И. Манько, Курс теоретической физики для студентов экономических специальностей, а именно Лекции семестр VII Глава 6.

• книга «Квантовая Магия» http://www.ppole.ru/doronin/QuantumMagic/cont.html , в частности, во второй главе параграф 2.8. посвящен сепарабельным и несепарабельным состояниям http://www.ppole.ru/doronin/QuantumMagic/28.html

См. также

• Матрица плотности