Инвариантная масса

Возможные 4-импульсы тел с нулевой и положительной массой покоя. Векторы четырёхимпульса, построенные от точки пересечения осей до любой точки на зелёной гиперболе, имеют одну и ту же (положительную) длину, то есть массу частицы, несущей этот четырёхимпульс, и различаются энергией и 4-скоростью частицы. Ускорение частицы сводится к движению конца 4-импульса по гиперболе. Векторы четырёхимпульса, построенные от точки пересечения осей до любой точки на синих полупрямых, имеют нулевую длину и могут относиться только к частицам нулевой массы (например, фотонам). Энергия этих частиц (с точностью до коэффициента c) равна модулю их 3-импульса.

Ма́сса поко́я, инвариа́нтная ма́сса — скалярная величина, характеризующая инертность тела с точки зрения теории относительности (как специальной, так и общей). Одно из обобщений массы из классической физики; в современных работах по теории относительности, ядерной физике, физике элементарных частиц и т. д. обычно просто «массой» и называется. Доминирует точка зрения, что термины «масса покоя» и «релятивистская масса» являются устаревшими; первый должен заменяться термином «масса», второй вообще должен быть отброшен, поскольку может привести к заблуждениям . В данной статье термины «масса» и «масса покоя» используются как синонимы.

Масса покоя определяется как абсолютная величина 4-вектора релятивистского импульса тела, делённая на скорость света.

Масса покоя тела является, в общем, неотрицательной величиной, и должна быть равна нулю для тела, движущегося со скоростью света (фотон). Понятие массы покоя особенно важно для физики элементарных частиц, так как позволяет отделять безмассовые частицы (всегда двигающиеся со скоростью света) от массивных (скорость которых всегда ниже скорости света).

Mасса покоя не является аддитивной величиной. Так, масса покоя системы двух (и более) взаимодействующих тел, вообще говоря, не равна сумме их масс покоя. Масса покоя неаддитивна даже в случае невзаимодействующих (но движущихся) объектов; так, суммарная масса покоя системы из двух фотонов (частиц с нулевой массой), движущихся в разных направлениях, ненулевая.

Масса покоя является релятивистским инвариантом, то есть не зависит от выбора системы отсчёта.

Определение

$mc = |p| = \sqrt{p^2} = \sqrt{g_{\mu\nu} p^\mu p^\nu},$

где c — скорость света, p — 4-импульс, g — метрический тензор пространства-времени, индексы $\mu,\nu = 0,...,3;\quad$ используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

В специальной теории относительности, где метрический тензор $g_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1),$ справедливо равенство:

$(mc)^2 = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2,$

где E — энергия тела, а $\vec{p}$ — 3-вектор его импульса.

Иногда рассматривают величину энергии покоя $E_0 = m c^2$, хотя с точки зрения теории относительности разницы между этой величиной и массой покоя нет, поскольку они всегда пропорциональны друг другу (различаются лишь множителем c²) и физически эквивалентны. В системе единиц, часто используемой в релятивистской физике, где c принимается безразмерной и равной 1, эти две величины просто совпадают.

Толкование термина

Если масса покоя тела положительна, то она равна инертной массе тела в сопутствующей системе отсчёта. При изменении скорости тела его масса покоя остаётся постоянной, если не изменяется состояние самого тела. Поэтому физики-релятивисты, как правило, говорят просто о массе частицы, опуская слово «покоя». Существует ви́дение термина «масса покоя» как устаревшего.

В нерелятивистской физике необходимость в особых оговорках касательно определения массы не возникает, так как при малых скоростях определения массы различаются лишь на множитель $1 + (v/c)^2$, что даёт пренебрежимо малое отличие.

Релятивистская масса — величина, характеризующая инерционные и гравитирующие свойства движущейся частицы.

$m = \frac{E}{c^2}$,

где E — полная энергия частицы, c — скорость света.

Аргументы против (парадоксы)

1. Достижение массивным телом скорости света

Несмотря на распространённое заблуждение о существовании релятивистской массы, т. е. массы, зависящей от скорости, в физике такая масса не используется [см., к примеру, Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — («Теоретическая физика», том II).

]. Более того, такая масса ведет к абсурдным результатам. 

В частности, из вышеприведенной формулы может следовать:

$~E_{tot}=m_0 \cdot c^2 \cdot \gamma$, где $\gamma= \frac{1}{ \sqrt{(1-v^2/c^2)}}$, m₀ - часто называемая масса покоя. Отсюда нетрудно получить, что m=m₀*γ.

Продолжая подобные рассуждения, расмотрим формулу для силы:

$F=m_0 \gamma \frac{dv}{dt}$, разделяя переменные, получим:

$\int_{0}^{c} \frac{1}{ \sqrt{(1-v^2/c^2)}}, dv = \int_{0}^{T} \frac{F}{m_0} dt$

Будем считать, что F - постоянная, тогда правый интеграл даст:

$\frac{F \cdot T}{m_0}$, а левый: $c \cdot \arcsin {\frac{c}{c}}= \frac{c \pi}{2}$

Таким образом, за конечное время $T = \frac{\pi c m_0}{2 F}$, любое тело может достичь скорости света, чего быть не может. Отсюда следует, что введение такого понятия, как релятивистская масса, лишено всякого смысла.

2. Оператор Лагранжа

Найдем Лагранжиан свободной частицы.

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: $S= -\int_{a}^{b}\alpha ds$, где $\alpha$-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) $ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt$. Подставляя в интеграл движения, находим: $S=- \int_{a}^{b} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}ds$. Далее, учитывая, что $\int_{a}^{b} \alpha ds = - \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L} dt$, получим:

$S=- \int_{t_1}^{t_2} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}dt$

Но, с другой стороны, интеграл движения можно выразить через фунцию лагранжа:

$S=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt$.

Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, т.е.:

$\mathcal{L}=- \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}$.

Далее, разлагая последнее выражение по степеням $\frac{v}{c}$, получим:

$\mathcal{L}\simeq \alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}$. Первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением лагранжиана: $\frac{mv^2}{2}$, нетрудно определить константу $\alpha$:

$\alpha = mc$. Таким образом, окончательно получаем вид лагранжиана свободной частицы:

$\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}$.

В рассуждениях по умолчанию было принято, что масса в классическом лагранжиане совпадает с массой в релятивистком. В ином случае функция лагранжа примет другой вид и, следовательно, другой вид примут выражения для импульса, энергии и др.

Ссылки

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Инвариантная масса. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---