ФЭНДОМ


Эрми́това (или самосопряжённая) ма́трица - квадратная матрица, элементы которой являются комплексными числами, и которая, будучи транспонирована, равна комплексно сопряжённой:A^T = \overline{A}. То есть, для любого столбца i и строки j справедливо равенство

a_{i,j} = \overline{a_{j,i}},

или

 (\overline{A})^T = A^+ = A .

где ^+ - оператор эрмитового сопряжения.

Например, матрица

\begin{bmatrix}3&2+i\\
2-i&1\end{bmatrix}

является эрмитовой.

Соответственно, антиэрмитовой матрицей называют квадратную матрицу, элементы которой удовлетворяют равенству a_{i,j} = -\overline{a_{j,i}}, или  A^+ = -A .

Основные свойства:Править

Эрмитова матрица является нормальной.

Диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны. Вещественная эрмитова матрица (т.е. та, все элементы которой - вещественные числа) является симметричной:

Определитель эрмитовой матрицы - вещественное число.

Сумма двух эрмитовых матриц является эрмитовой. Обратная к эрмитовой матрица также эрмитова, если существует. Произведение двух эрмитовых матриц является эрмитовым тогда и только тогда, когда они коммутируют друг с другом, т.е. если AB = BA.

У эрмитовой матрицы все собственные значения вещественны, а собственные векторы могут быть собраны в ортонормированную систему.

Жорданова форма эрмитовой матрицы диагональна.

Дополнительные свойстваПравить

  • Сумма любой квадратной матрицы и эрмитово сопряжённой (A + A^+) - также эрмитова матрица.
  • Разность любой квадратной матрицы и эрмитово сопряжённой (A - A^+) является антиэрмитовой. То есть, если C = A - A^+, то C^+ = - C
  • Любую квадратную матрицу можно представить как сумму некоторых эрмитовой и антиэрмитовой матриц:
A = {H+C} , где     H = \frac{1}{2}(A + A^+)    и     C = \frac{1}{2}(A - A^+).

См. также Править


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Эрмитова матрица. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики