4-вектор

4-вектором (четырёхвектором, четыре-вектором) называется вектор в четырёхмерном пространстве вещественных чисел. Координаты 4-вектора при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор и преобразуются в соответствии с этим при преобразовании пространственных координат, не затрагивающих временной, то есть при преобразованиях координат, не включающих физического движения новой системы системы отсчёта относительно прежней.

• В современных обозначениях временной компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным: 1,2,3 — совпадающим с x, y, z (обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временная компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
• Иногда бывает удобно приписывать временной компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временную компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым, однако не слишком редко — в силу своего удобства — используется и в современной литературе.
• 4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в простых случаях это различие весьма просто.

4-векторами являются

• 4-перемещение $~dx^{i}=(c~dt,dx,dy,dz)$,

• 4-скорость $~u^{i}=dx^{i}/d\tau$, где $\tau$ — «собственное время», равное интервалу, измеренному вдоль мировой линии,

• 4-ускорение $~a^{i}=du^{i}/d\tau$, где $\tau$ — см. выше,

• 4-вектор энергии-импульса (4-импульс),

• четырёхмерная плотность тока $~j^{i}=(\rho ,j_{x},j_{y},j_{z})$,

• волновой 4-вектор $~k_{i}=(c~\omega ,-k_{x},-k_{y},-k_{z})$,

• электромагнитный потенциал $~A_{i}=(\phi ,-A_{x},-A_{y},-A_{z})$,

и т. д.

Закон преобразование четырёхвектора:

$~{\tilde {A}}^{i}=\sum _{i}S_{j}^{i}\ A^{j}$,

где $S_j^i$ — матрица из группы Лоренца — матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

• Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).

• Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).

• Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) — её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: $m^2 = E^2/c^4 - p^2/c^2$ и т. д.

Обозначения

В математике нет устоявшегося специального обозначения для 4-векторов, обычно применяются общие обозначения, применяемые для векторов, с указанием в тексте, что это векторы четырехмерного пространства Минковского итп. Иногда используются и обозначения, принятые в физике, описанные ниже.

В физике (отчасти и в математике, особенно в старых книгах) традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так 4-вектор $a$ обозначается как: $a^i$ (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или $a_i$.

Координаты, пространственную и временную, обычно обозначают как $x^i$.

Что означает при этом использование верхнего ($a^i$) или нижнего $a_i$ индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним - ковариантные координаты. Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления - контравариантное (быть представлен как контравариантный вектор) и ковариантное (быть представлен как ковариантный вектор).

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчета, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временной (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры - пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

$(a,b) = a^i b_i \equiv \sum_i a^i b_i = a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 + a^4 b_4 = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4$

и в частности

$(a)^2 = (a,a) = a^i a_i \equiv \sum_i a^i a_i = a^1 a_1 + a^2 a_2 + a^3 a_3 + a^4 a_4 = (a_1)^2 - (a_2)^2 - (a_3)^2 - (a_4)^2$

(здесь и ниже использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу Эйнштейна, а возведение в квадрат обозначено как (...)²).

Если же хотят написать скалярное произведение с использованием только ковариантных или только контравариантных компонент, обычно используют запись с метрикой Лоренца $\eta_{ij}$ (или \eta^{ij}):

$(a,b) = \eta_{ij} a^i b^j \equiv \sum_{i,j} \eta_{ij} a^i b^i = a^1 b^1 - a^2 b^2 - a^3 b^3 - a^4 b^4$

или

$(a,b) = \eta^{ij} a_i b_j \equiv \sum_{i,j} \eta^{ij} a_i b_i = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4$

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

Однако в более общем случае нелоренцевых систем отсчета, в том числе при учете гравитации в соответствии с ОТО, вместо очень простой и постоянной лоренцевой метрики $\eta_{ij}$ приходится рассматривать произвольную, в том числе зависящую от пространственных координат и времени метрику $g_{ij}$. (Во всех формулах, написанных в этом параграфе выше надо в общем случае заменить $\eta_{ij}$ на $g_{ij}$, а $\eta^{ij}$ на $g^{ij}$). При этом простое правило о том, что ковариантное и контравариантное представление 4-вектора различаются лишь знаком пространственных компонент, перестает действовать, они начинают выражаться друг через друга с использованием также метрики $g_{ij}$ общего вида (см. Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством):

$a^{i}=g^{ij}a_{j}\equiv \sum _{j}g^{ij}a_{j}$,

$a_{i}=g_{ij}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{ij}a^{j}$.

(Как видим, эти формулы были верны и для $\eta_{ij}$, но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь - в общем случае - уже не сводятся).

Заметим также, что в пространстве (многообразии) с кривизной (как в ОТО), совокупность координат $x^i$ уже не представляет вообще говоря вектора (иными словами, в мысли о таком наборе как о векторе нет физического смысла). Однако малые (бесконечно малые) смещения по координатам $dx^i$ - представляют вектор (вектор касательного пространства к многообразию в точке $x^i$).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы, так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно - контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: $(\partial _{0},-\partial _{1},-\partial _{2},-\partial _{3})$, так как полный дифференциал $df = \partial_0 f dx^0 + \partial_1 f dx^1 + \partial_2 f dx^2 + \partial_3 f dx^3$ - должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за $\eta {ij}$.

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временной компоненты лишен этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры; впрочем, выбор сигнатуры - всё равно дело договоренности). То есть, о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже $\eta {ij}$, то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет ее реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

• 4-перемещение $~dx_{i}=(ic~dt,dx,dy,dz)$,
• 4-импульс $~p_{i}=(ic~E,p_{x},p_{y},p_{z})$,
• четырехмерная плотность тока $~j_{i}=(i\rho ,j_{x},j_{y},j_{z})$,
• волновой 4-вектор $~k_{i}=(ic~\omega ,k_{x},k_{y},k_{z})$,
• электромагнитный потенциал $~A_{i}=(i\phi ,A_{x},A_{y},A_{z})$,

и т. д.

4-вектор в математике

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

$\mathbf {x} :=\left(ct,x,y,z\right)$,

где $c$ — скорость света, $t$ — время события, а $x, y, z$ — его пространственные координаты. Такой 4-вектор называется 4-радиус-вектором.

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиусвектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

История

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7

, §6. Четырехмерные векторы.

• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6

- гл.25. "Электродинамика в релятивистских обозначениях". (Это простое введение для студентов младших курсов; во избежание путаницы следует обратить внимание, что в этой книге используются только нижние индексы, относящиеся однако к контравариантным компонентам 4-векторов).

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: 4-вектор. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---